جدول گزینه ۱ تطابق کاملی از نام‌گذاری، نمونه‌های واقعی استاندارد کتاب درسی و مبنای شکل‌گیری ریاضی (تر

پست بازیکن نام دسته و کیفی اسمی است، تعداد کارت‌ها شمارش و کمی گسسته است، مسافت طی‌شده اندازه‌گیری و کمی پیوسته است، و امتیاز کارشناسی دارای ترتیب و کیفی ترتیبی است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

متغیرهای کیفی: کد ملی (اسمی)، گروه خونی (اسمی) و شدت زلزله مرکالی (ترتیبی) هستند؛ پس $m = ۳$. متغیرهای کمی: وزن (پیوسته) و تعداد خواهران (گسسته) هستند؛ پس $n = ۲$. بنابراین $m - n = ۳ - ۲ = ۱$. پس گزینه ۱ صحیح است.

نوع مسکن کیفی اسمی است، تعداد اتاق‌ها حاصل شمارش و کمی گسسته است، متراژ زیربنا حاصل اندازه‌گیری و کمی پیوسته است، و دهک درآمدی یک رتبه‌بندی اقتصادی از کمترین به بیشترین و کیفی ترتیبی است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

گزاره گزینه ۱ خطا است؛ زیرا محدودیت ابزار اندازه‌گیری در نمایش ارقام اعشاری، ماهیت متغیر پیوسته (اندازه‌گیری) را به گسسته تبدیل نمی‌کند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

این داده‌ها مربوط به یک متغیر کیفی ترتیبی هستند؛ برای متغیر ترتیبی فراوانی، مد و میانه قابل تعیین است، اما میانگین حسابی به دلیل عدم ماهیت عددی فواصل قابل محاسبه نیست. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

«نوع کود» کیفی اسمی، «میزان مصرف» حاصل اندازه‌گیری جرم و کمی پیوسته، «کیفیت محصول» دارای درجات کیفی ترتیبی، و «تعداد میوه‌ها» حاصل شمارش و کمی گسسته است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در متغیرهای کمی ($C$ و $D$) تفاضل و فواصل عددی دقیق و معنادار است، اما در متغیر کیفی ترتیبی ($B$) صرفاً رتبه و برتری مقادیر مشخص است و فواصل عددی معنادار نیستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

شماره داوطلبی کد هویتی است (کیفی اسمی)، نمره تراز یک شاخص محاسباتی استاندارد پیوسته است (کمی پیوسته)، رتبه کشوری نشان‌دهنده جایگاه و رتبه فرد است (کیفی ترتیبی)، و رشته پذیرفته‌شده عنوان دسته‌بندی است (کیفی اسمی). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

شماره تلفن همراه و بارکد کالا هر دو کدهای قراردادی شناسه بدون ترتیب و برتری هستند و دقیقاً هر دو متغیر «کیفی اسمی» می‌باشند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

متغیرهای «تعداد فرزندان»، «تعداد سکه‌ها» و «تعداد گل‌ها» حاصل شمارش بوده و کمی گسسته هستند (۳ متغیر). «مساحت» و «مدت مکالمه» حاصل اندازه‌گیری بوده و کمی پیوسته هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

فشار خون یک کمیت فیزیکی پیوسته است و با تعریف رده‌های دارای ترتیب و شدت، متغیر ثانویه حاصله کیفی ترتیبی خواهد بود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

متغیرهای کیفی: «جهت باد» (اسمی) و «شاخص هشدار آلودگی» (ترتیبی) که مجموعاً ۲ متغیر هستند. متغیرهای کمی: «سرعت باد» (پیوسته) و «میزان بارش» (پیوسته) که مجموعاً ۲ متغیر هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

زمان انتظار حاصل اندازه‌گیری پیوسته در بازه $[۰, +\infty)$ است ($X$ پیوسته)، در حالی که تعداد قطارها حاصل شمارش بوده و عضو $\{۰, ۱, ۲, \dots\}$ است ($Y$ گسسته). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

شابک کد شناسایی است (کیفی اسمی)، تعداد صفحات حاصل شمارش است (کمی گسسته)، وزن کتاب حاصل اندازه‌گیری با ترازو است (کمی پیوسته)، و رده سنی کانون دارای ترتیب سنی مشخص است (کیفی ترتیبی). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

گزاره (الف) درست است (مانند کد ملی)، گزاره (ب) نادرست است (مجموعه مقادیر گسسته می‌تواند نامتناهی شمارا باشد مانند پرتاب سکه تا اولین رو)، گزاره (ج) درست است (برای اسمی فقط نما معنادار است)، و گزاره (د) نادرست است (متغیرهای پیوسته دقیقاً مقادیر اعشاری اختیار می‌کنند). پس ۲ مورد درست است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

شماره کارت کد هویتی است (کیفی اسمی)، مبلغ تراکنش به ریال شمارش کوچکترین واحد پولی است (کمی گسسته) و وضعیت تراکنش دسته‌بندی دوحالته بدون ترتیب است (کیفی اسمی). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

حالت اولیه متغیر کمی پیوسته است که پس از تبدیل، به یک متغیر کیفی دوحالته (قبول/مردود) تبدیل می‌شود، نه کمی گسسته؛ بنابراین گزاره گزینه ۱ نادرست و پاسخ مورد نظر است.

متغیرهای «رتبه در آزمون آزمایشی»، «مدرک تحصیلی» و «میزان رضایت از تدریس» دارای نظم و رتبه ذاتی بوده و کیفی ترتیبی هستند (مجموعاً ۳ متغیر). «شماره دانشجویی» کیفی اسمی، و «دمای هوا» و «سرعت خودرو» کمی پیوسته هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در داده‌های اسمی فقط یکسانی یا غیراکسانی ($=, \ne$)، در داده‌های ترتیبی ترتیب رتبه‌ای ($<, >$) و در داده‌های کمی انجام عملیات جبری و محاسباتی ($+, -, \times, \div$) مجاز و معنادار است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

دسته وزنی یک گروه‌بندی رتبه‌ای و ترتیبی از سبک‌وزن تا سنگین‌وزن است (کیفی ترتیبی)، رکورد مهار وزنه حاصل اندازه‌گیری نیرو/جرم است (کمی پیوسته) و رنگ دوبنده صرفاً نام‌گذاری است (کیفی اسمی). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

شماره پرسنلی مانند کد ملی صرفاً شناسه‌ای برای تمایز افراد است؛ تفاضل، جمع یا میانگین این کدها هیچ معنایی ندارد و ترتیب آن‌ها نیز ارزش ذاتی ندارد (کیفی اسمی). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

«تعداد صفحات کتاب» حاصل شمارش بوده و کمی گسسته است، و «زبان مادری» یک برچسب هویتی بدون ترتیب و کیفی اسمی می‌باشد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در متغیرهای کیفی ترتیبی چون داده‌ها ترتیب دارند، می‌توان میانه را پیدا کرد و فراوان‌ترین دسته (نما) را نیز تعیین نمود، اما چون فواصل عددی واقعی وجود ندارد، محاسبه میانگین امکان‌پذیر نیست. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

شماره پلاک صرفاً برچسب هویتی است (کیفی اسمی)، حجم موتور اندازه‌گیری حجم سیال است (کمی پیوسته)، تعداد درها شمارش می‌شود (کمی گسسته) و استاندارد آلایندگی درجه‌بندی رتبه‌ای دارد (کیفی ترتیبی). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

محاسبه میانگین حسابی تنها بر روی مقادیر واقعی متغیرهای کمی (گسسته و پیوسته) معنای ریاضی و آماری دارد و انجام آن روی متغیرهای کیفی (حتی در صورت کدگذاری عددی) بی‌معناست. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

سن ماهیتاً متغیری کمی پیوسته (حاصل گذر زمان و اندازه‌گیری) است که با دسته‌بندی توصیفی رتبه‌دار به متغیر کیفی ترتیبی تبدیل شده است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در علم آمار، متغیرها در گام نخست به دو گروه کلی «کیفی» و «کمی» تقسیم شده و سپس متغیرهای کیفی به دو زیرشاخه «اسمی» و «ترتیبی» و متغیرهای کمی به دو زیرشاخه «گسسته» و «پیوسته» تفکیک می‌گردند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در علم آمار، متغیرها در گام نخست به دو گروه کلی «کیفی» و «کمی» تقسیم شده و سپس متغیرهای کیفی به دو زیرشاخه «اسمی» و «ترتیبی» و متغیرهای کمی به دو زیرشاخه «گسسته» و «پیوسته» تف گزینه ۳

ویژگی بارز متغیر کیفی اسمی تفکیک بدون ترتیب و متغیر کیفی ترتیبی داشتن رتبه‌بندی و سلسله‌مراتب کیفی معنادار است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

شماره پیراهن صرفاً کد شناسایی فرد است (کیفی اسمی) و مقام در خط پایان رتبه و ترتیب برتری فرد را نشان می‌دهد (کیفی ترتیبی). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در متغیر اسمی فقط می‌توان گفت دو عضو هم‌دسته‌اند یا خیر ($A=B$ یا $A \ne B$)، اما در متغیر ترتیبی می‌توان ترتیب و برتری ($A > B$) را نیز مشخص کرد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

نام نرم‌افزارها و مرورگرها عناوین توصیفی و اسمی هستند و ترتیبی در ذات آن‌ها وجود ندارد، پس کیفی اسمی هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تبدیل نمرات به رده‌های کیفی باعث می‌شود متغیر ماهیت کیفی ترتیبی پیدا کند و جزئیات دقیق اختلاف نمرات بین افراد حذف شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

درجه‌بندی کیفی میوه‌ها نشان‌دهنده اولویت، مرغوبیت و رتبه کیفیت است، بنابراین یک متغیر کیفی ترتیبی می‌باشد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

انواع بیمه دسته‌های مشخص و متمایز هویتی بدون نظم طبیعی هستند، لذا متغیر کیفی اسمی به شمار می‌روند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طیف لیکرت یک متغیر کیفی ترتیبی استاندارد است و اعداد ۱ تا ۵ نماد رتبه‌ها هستند، نه مقادیر کمی واقعی با فواصل برابر. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

چون در متغیرهای کیفی ترتیبی داده‌ها قابل مرتب‌سازی از کوچک به بزرگ هستند، می‌توان مقدار میانه را تعیین کرد اما میانگین حسابی قابل محاسبه نیست. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

انواع سیستم‌های گرمایشی دسته‌های نام‌گذاری‌شده‌ای هستند که هیچ تقدم و تأخر طبیعی در تعریف آن‌ها وجود ندارد، پس کیفی اسمی هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برای متغیرهای کیفی اسمی به دلیل عدم امکان محاسبات حسابی، تنها می‌توان دسته‌ای که بیشترین فراوانی را دارد (نما یا مد) تعیین کرد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در اینجا رنگ‌ها نمایانگر درجات مختلف شدت ترافیک از روان تا مسدود هستند، پس دارای ترتیب طبیعی بوده و کیفی ترتیبی هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

میزان انگیزه، کیفیت کالا و مقطع تحصیلی همگی دارای دسته‌های کیفی با ترتیب منطقی و رتبه‌ای هستند (کیفی ترتیبی). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

ملیت، جنسیت، نام شهر و گروه خونی همگی دسته‌های نام‌گذاری‌شده بدون ترتیب طبیعی هستند و متغیر کیفی اسمی می‌باشند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

کدگذاری عددی تنها برای سهولت ورود داده‌ها به رایانه انجام می‌شود و ماهیت واقعی متغیر (کیفی اسمی) را تغییر نمی‌دهد؛ میانگین کدهای رشته هیچ معنایی ندارد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

ستاره‌های هتل بیانگر سطح کیفیت و رتبه امکانات هستند و گرچه با عدد یا ستاره نشان داده می‌شوند، ترتیب کیفی را نمایش می‌دهند (کیفی ترتیبی). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در دسته‌بندی داده‌های آماری، رنگ چشم به صورت اسامی (قهوه‌ای، آبی، سبز، مشکی) ثبت شده و هیچ ترتیبی ندارد، لذا کیفی اسمی است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

متغیرهایی که دارای دو دسته متمایز کیفی بدون ترتیب جبری هستند، متغیر کیفی اسمی دوحالته (Dichotomous) نامیده می‌شوند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

درجه نظامی و مرحله بیماری سرطان دارای سلسله‌مراتب و رتبه هستند (کیفی ترتیبی)، در حالی که مذهب و نوع سیستم‌عامل اسمی هستند. پس ۲ متغیر ترتیبی وجود دارد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

این سایزها برچسب‌های کلمه‌ای هستند که رابطه ترتیبی مشخص (از کوچک به بزرگ) میان آن‌ها برقرار است، بنابراین کیفی ترتیبی هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

پلاک خودروها ترکیب حرف و عدد برای شناسایی یکتای خودرو است و هیچ رابطه ترتیب ارزشی یا ماهیت محاسباتی ندارد، لذا کیفی اسمی است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در متغیرهای کیفی ترتیبی، می‌دانیم مقدار $A$ بهتر از $B$ است، ولی نمی‌توان گفت دقیقاً چه مقدار برتری عددی دارد؛ زیرا فاصله بین رتبه‌ها معین نیست. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

مدال‌ها و مقام‌ها دارای ترتیب و رتبه برتری مشخص نسبت به یکدیگر هستند و ماهیت غیرمحاسباتی مستقیم دارند، لذا کیفی ترتیبی محسوب می‌شوند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

عددی بودن ظاهر داده ملاک کمی بودن نیست؛ از آنجا که جمع یا میانگین کدهای ملی هیچ مفهومی ندارد و ترتیب میان آن‌ها ارزش رتبه‌ای ندارد، کیفی اسمی است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

میزان رضایت دارای درجات و ترتیب مشخص و پیوسته ذهنی از کمترین به بیشترین است (کیفی ترتیبی)، در حالی که سایر گزینه‌ها اسمی هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

گروه خونی دارای دسته‌های اسمی است که هیچ ترتیب یا برتری طبیعی نسبت به یکدیگر ندارند (کیفی اسمی)، در حالی که سایر گزینه‌ها ترتیبی هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در متغیر کیفی ترتیبی (Ordinal)، دسته‌ها دارای ترتیب طبیعی، رتبه یا درجه‌بندی منطقی (مانند ضعیف، متوسط، خوب) هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در متغیر کیفی اسمی (Nominal)، مقادیر فقط به عنوان نام یا برچسب برای دسته‌بندی استفاده می‌شوند و هیچ ترتیب طبیعی میان آن‌ها حاکم نیست. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

متغیرهای کیفی در سطح استاندارد کتاب ریاضی ۱ به دو دسته «کیفی اسمی» (بدون ترتیب ذاتی) و «کیفی ترتیبی یا رتبه‌ای» (دارای ترتیب طبیعی) تقسیم می‌شوند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

متغیر کیفی بیانگر ویژگی‌ها یا صفاتی است که جنبه عددی و محاسباتی ندارند و انجام عملیات ریاضی نظیر جمع یا میانگین روی آن‌ها معنا ندارد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

مشخصه بنیادین متغیرهای گسسته، شمارش‌پذیری و مقادیر مجزا و برای متغیرهای پیوسته، اندازه‌گیری با ابزار و پوشش بازه‌های پیوسته حقیقی است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد سکه‌ها از طریق شمارش به دست می‌آید (کمی گسسته) و وزن کل قلک با ترازو اندازه‌گیری می‌شود (کمی پیوسته). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

درصد تورم از محاسبات تغییرات شاخص قیمت‌ها حاصل شده و می‌تواند هر مقدار اعشاری مثبتی را در پیوستاری از اعداد اختیار کند، لذا کمی پیوسته است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در متغیرهای کمی با مقیاس نسبتی (مانند وزن یا طول)، نسبت‌های ریاضی مفهوم مستقیم دارند (مثلاً وزن ۶۰ کیلوگرم دقیقاً دو برابر ۳۰ کیلوگرم است). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

ضخامت نوعی بعد مکانی (طول) است و هر چقدر هم کوچک باشد، با ابزارهای دقیق سنجیده شده و کمیتی پیوسته است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

بازه $[۱۰, ۲۰]$ در اعداد حقیقی نشان‌دهنده پیوستگی متغیر $A$ است و مجموعه متناهی از اعداد مجزا نشان‌دهنده گسسته بودن متغیر $B$ با ۱۱ مقدار ممکن است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد پیامک، تعداد گلبرگ و تعداد طبقات همگی شمارشی بوده و متغیر کمی گسسته‌اند. در سایر گزینه‌ها طول، حجم، وزن، سن دقیق، دما و مساحت پیوسته‌اند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

دما، وزن، زمان و طول هر چهار مورد از طریق اندازه‌گیری با ابزار حاصل شده و پیوسته‌اند. سایر گزینه‌ها متغیرهای شمارشی (گسسته) دارند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طول و مسافت کمیت‌های بنیادین پیوسته فیزیکی هستند و خودرو برای رفتن از نقطه‌ای به نقطه دیگر تمام نقاط میانی را طی می‌کند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد اشتباهات در هر صفحه یا کل کتاب با شمارش مشخص می‌شود و اعدادی صحیح نامنفی ($۰, ۱, ۲, \dots$) را به خود می‌گیرد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در متغیرهای کمی، اعداد بیانگر مقادیر و اندازه‌ها هستند و عملیات ریاضی روی آن‌ها دارای تعبیر منطقی و فیزیکی است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد ضربان قلب ناشی از شمارش ضربه‌هاست (گسسته)، در حالی که فشار خون یک کمیت فیزیکی فشار است که با دستگاه اندازه‌گیری می‌شود (پیوسته). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

با ثبت سن بر حسب سال تمام ($۱۵, ۱۶, ۱۷, \dots$)، مقادیر به صورت اعداد صحیح و جدا از هم درمی‌آیند و داده‌ها گسسته می‌شوند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

سن دقیق یک متغیر زمانی است و زمان کمیتی پیوسته است، هرچند در مکالمات روزمره به سال کامل (گسسته) بیان شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

حجم یک کمیت فیزیکی پیوسته است که از صفر تا ظرفیت باک ($V_{\max}$) می‌تواند هر عدد حقیقی را شامل شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

این متغیر شمارشی است و می‌تواند مقادیر $۱, ۲, ۳, \dots$ را اختیار کند. گرچه تعداد مقادیر نامتناهی است، ولی شمارش‌پذیر و جدا از هم هستند (گسسته). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

سرعت یک کمیت فیزیکی پیوسته است و در طول حرکت به طور پیوسته تغییر می‌کند و تمام اعداد حقیقی یک بازه را می‌پوشاند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

متغیری مانند کفش با سایزهای نیم‌شماره ($۳۸$, $۳۸/۵$, $۳۹$) اعشاری است اما مقادیر آن گسسته‌اند، پس گسسته بودن به معنی صحیح بودن مقادیر نیست. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

وجود اعشار به تنهایی دلیل بر پیوستگی نیست؛ چون بین $۱۸$ و $۱۸/۲۵$ هیچ نمره‌ای ممکن نیست، مقادیر جدا از هم و گسسته‌اند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

مبالغ مالی به واحد پول رایج (ریال یا تومان) شمارش می‌شوند و بین دو واحد متوالی (مثلاً $۱۰۰۰$ و $۱۰۰۱$ ریال) مقداری تعریف نمی‌شود، لذا گسسته به شمار می‌روند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

«تعداد تصادفات» و «تعداد غایبین» متغیرهای شمارشی و گسسته هستند، در حالی که «طول عمر لامپ» (زمان) و «فشار باد لاستیک» متغیرهای پیوسته سنجشی می‌باشند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

اگر وزن یا طول را با دقت مشخصی (مثلاً یک رقم اعشار) ثبت کنیم، ناشی از محدودیت ابزار است اما ماهیت واقعی متغیر در طبیعت پیوسته باقی می‌ماند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعریف ریاضی متغیر پیوسته این است که دامنه مقادیر آن یک بازه پیوسته از اعداد حقیقی است که میان هر دو مقدار آن بی‌نهایت مقدار دیگر وجود دارد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

قد کمیت پیوسته‌ای است که با ابزار متر اندازه‌گیری می‌شود و می‌تواند هر عدد حقیقی در یک بازه باشد، اما تعداد گل، تعداد صفحه و تعداد اتومبیل گسسته‌اند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد فرزندان از طریق شمارش به دست می‌آید و اعدادی مانند $۰, ۱, ۲, \dots$ را می‌پذیرد (گسسته)، در حالی که جرم، دما و زمان متغیرهای پیوسته‌اند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

به طور معمول در آمار، متغیرهایی که ماهیت شمارشی دارند گسسته و متغیرهایی که با ابزار اندازه‌گیری ثبت می‌شوند پیوسته هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

متغیر کمی پیوسته متغیری است که از طریق اندازه‌گیری با ابزار حاصل شده و بین هر دو مقدار آن، بینهایت مقدار دیگر می‌تواند وجود داشته باشد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

متغیر کمی گسسته متغیری است که مقادیر ممکن آن جدا از هم بوده (معمولاً حاصل شمارش) و تمام مقادیر یک بازه را نمی‌پذیرد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

متغیرهای کمی در کتاب ریاضی دهم به دو دسته اصلی «متغیرهای کمی گسسته» و «متغیرهای کمی پیوسته» طبقه‌بندی می‌شوند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

متغیر کمی متغیری است که مقادیر آن با عدد بیان شده، حاصل شمارش یا اندازه‌گیری است و محاسبات ریاضی روی آن معنادار است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

جامعه مجموعه اع

در نمادگذاری استاندارد، متغیر با حرف بزرگ لاتین مانند $X$ و مقادیر اندازه‌گیری‌شده برای اعضا با حروف کوچک اندیس‌دار $x_۱, x_۲, \dots, x_n$ مشخص می‌شوند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در نمادگذاری استاندارد، متغیر با حرف بزرگ لاتین مانند $X$ و مقادیر اندازه‌گیری‌شده برای اعضا با حروف کوچک اندیس‌دار $x_۱, x_۲, \dots, x_n$ مشخص می‌شوند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

سرعت متوسط کمیتی عددی با واحد سنجش $\text{km/h}$ است که از تقسیم دو کمیت مسافت و زمان حاصل می‌شود و مقادیر عددی پیوسته می‌پذیرد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در ساختار استاندارد جداول داده‌های آماری، هر ستون به یک متغیر آماری اختصاص دارد و هر سطر ردیف مقادیر مربوط به یک عضو جامعه را در بر می‌گیرد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تغییر هم‌جهت مقادیر دو متغیر در اعضای جامعه نشان‌دهنده وجود رابطه یا همبستگی مثبت میان آن دو ویژگی است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

میانگین حسابی فقط برای متغیرهای کمی دارای معنای فیزیکی است؛ نمره ریاضی کمی است اما شماره ملی، کد پستی و گروه خونی برچسب‌های هویتی یا کیفی هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

شمارش اقلام (مثل تعداد فرزندان، تعداد کتاب‌ها) همواره به مقادیر صحیح غیرمنفی شامل صفر و اعداد طبیعی منجر می‌شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

جرم، قد، حجم آب و سن همگی با واحدهای فیزیکی اندازه‌گیری شده و ماهیت محاسباتی و کمی دارند. سایر گزینه‌ها شامل متغیرهای کیفی یا کدهای شناسایی هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

جامعه آماری: بیماران درمانگاه؛ عضو مورد مشاهده: آقای رضایی؛ متغیر آماری: فشار خون؛ و مقدار متغیر: عدد $۱۴۰$ میلی‌متر جیوه است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

وقتی متغیر به عنوان کمی پیوسته یا عددی بر حسب ریال/تومان تعریف می‌شود، مقدار آن باید عددی باشد و ثبت کلمه کیفی نشان‌دهنده ناهماهنگی داده با متغیر است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در متغیرهای شمارشی، مقدار صفر نشان‌دهنده غیاب یا عدم وجود کمیت مورد نظر برای آن عضو جامعه است و کاملاً معنادار است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

دمای هوا با واحد مشخص عددی سنجیده می‌شود و متغیر کمی است و مقادیر آن در مقیاس سلسیوس می‌توانند مثبت، منفی یا صفر باشند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

مقادیر متغیرهای کمی از طریق سنجش با ابزار یا شمارش به دست می‌آیند و نیاز به واحد اندازه‌گیری استاندارد دارند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

«استان محل سکونت» و «رشته امتحانی» کیفی هستند، در حالی که «سال تولد» و «معدل کتبی دیپلم» متغیرهای کمی محسوب می‌شوند؛ بنابراین ۲ متغیر کیفی وجود دارد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

وقتی مقادیر عددی به رده‌ها یا برچسب‌های توصیفی دسته‌بندی می‌شوند، مقادیر متغیر جدید کلمه‌ای بوده و متغیر به متغیر کیفی تبدیل می‌گردد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در متغیرهای کمی، فواصل و روابط جبری میان مقادیر عددی بازتاب‌دهنده واقعیت اندازه‌گیری‌شده هستند و تفسیر فیزیکی یا ریاضی دارند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

کد پستی تنها برای نشانی‌دهی و تفکیک جغرافیایی به کار می‌رود و ماهیت عددی محاسباتی ندارد؛ لذا متغیری کیفی است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

ماهیت اصلی متغیر در آمار «تغییرپذیری» (Variability) آن در میان اعضای جامعه است؛ اگر ویژگی برای همه یکسان باشد، متغیر نبوده بلکه ثابت جامعه است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

چون در جامعه مفروض همه اعضا پسر هستند، جنسیت تغییری نمی‌کند و یک ویژگی ثابت در این جامعه است، نه متغیر. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

میزان علاقه یک صفت توصیفی و کیفی است و با دسته‌های کیفی مشخص می‌شود، در حالی که نمره، جرم و تعداد اتاق متغیرهای کمی هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

مدت زمان صفت قابل اندازه‌گیری با عدد و واحد مشخص است که عملیات ریاضی روی آن معنا دارد (متغیر کمی)، در حالی که سایر گزینه‌ها متغیر کیفی هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

مقادیر ممکن برای متغیر فصل تولد شامل چهار حالت نام‌گذاری‌شده بهار، تابستان، پاییز و زمستان است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

صرف حضور عدد باعث کمی بودن متغیر نمی‌شود؛ شماره پیراهن یا کد ملی تنها یک برچسب یا نام‌گذاری است و اعمال ریاضی روی آن مفهومی ندارد، لذا کیفی است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طول قد، صفتِ در حال اندازه‌گیری (متغیر) و عدد ۱۷۸ سانتی‌متر وضعیت مشخص شده برای فرد (مقدار متغیر) است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

متغیر کمی متغیری است که با مقادیر عددی مشخص شده و اعمال ریاضی نظیر جمع، تفریق و میانگین‌گیری روی مقادیر آن معنادار است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

متغیرهای کیفی صفت‌ها یا ویژگی‌هایی هستند که ماهیت عددی ندارند و انجام اعمال ریاضی (مانند جمع یا میانگین) روی آن‌ها معنا ندارد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

متغیرهای آماری در سطح اول به دو دسته اصلی «متغیرهای کیفی» (غیرعددی یا توصیفی) و «متغیرهای کمی» (عددی و قابل اندازه‌گیری/شمارش) تقسیم می‌شوند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

«رنگ چشم» صفتی است که مورد بررسی قرار می‌گیرد (متغیر آماری) و «قهوه‌ای» وضعیت اختصاص‌یافته به یک فرد خاص است (مقدار متغیر). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

به ویژگی یا عددی که پس از اندازه‌گیری یا مشاهده برای یک عضو مشخص به دست می‌آید، «مقدار متغیر» یا «داده» گفته می‌شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق تعریف کتاب درسی، هر ویژگی یا صفت کمی یا کیفی از اعضای جامعه که از فردی به فرد دیگر یا از عضوی به عضو دیگر تغییر کند، «متغیر آماری» نام دارد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تصادفی بودن، عدم سوگیری و نماینده بودن نمونه از ارکان حیاتی تعمیم‌پذیری و اعتبار استنباط آماری هستند؛ حجم زیاد نمونه بدون روش صحیح گزینش نمی‌تواند سوگیری سیستماتیک را جبران کند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

هنگامی که هر عضو انتخاب‌شده پیش از انتخاب عضو بعدی به جامعه بازگردانده شود، روش را «نمونه‌گیری با جایگذاری» می‌نامند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

این نمونه‌گیری دچار سوگیری پوششی است، زیرا شهروندانی که اصلاً از حمل‌ونقل عمومی یا از مترو استفاده نمی‌کنند در جامعه در دسترس حضور ندارند و نمونه نماینده کل شهروندان نیست. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعریف صفت مشترک (مثلاً دانش‌آموزان پایه دهم منطقه ۲ تهران) مشخص می‌کند چه کسی عضو جامعه محسوب می‌شود و چه کسی خارج از جامعه مطالعه است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد حالات انتخاب ۲ دختر از ۱۲ دختر برابر $\binom{۱۲}{۲} = \frac{۱۲ \times ۱۱}{۲} = ۶۶$ و انتخاب ۲ پسر از ۸ پسر برابر $\binom{۸}{۲} = \frac{۸ \times ۷}{۲} = ۲۸$ است. طبق اصل ضرب: $۶۶ \times ۲۸ = ۱۸۴۸$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

ابزارهایی مانند جدول اعداد تصادفی اطمینان می‌دهند که اعضا کاملاً بر مبنای شانس محض و بدون دخالت نظر یا قضاوت ذهنی محقق برگزیده شوند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

با بزرگ‌تر شدن نمونه، اطلاعات بیشتری از جامعه پوشش داده می‌شود و در نتیجه خطای ناشی از نمونه‌گیری کاهش می‌یابد تا جایی که در سرشماری ($n=N$) خطای نمونه‌گیری به صفر می‌رسد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

پرتاب سکه یک فرایند بی‌پایان با اعضای نامحدود است (جامعه نامتناهی)، اما درختان یک جنگل مشخص تعداد معین و قابل شمارشی دارند (جامعه متناهی). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

کل جمعیت $N = ۳۰۰ + ۲۰۰ = ۵۰۰$ است. سهم پایه دهم $\frac{۳۰۰}{۵۰۰} = \frac{۳}{۵}$ کل جمعیت است. بنابراین در نمونه ۵۰ نفره باید $\frac{۳}{۵} \times ۵۰ = ۳۰$ دانش‌آموز از پایه دهم انتخاب شوند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

«چارچوب نمونه‌گیری» سوگیری طراحی آزمایش ۱

«چارچوب نمونه‌گیری»ستی

احتمال قرار گرفتن هر عضو مشخص در نمونه تصادفی بدون جایگذاری برابر با نسبت اندازه نمونه به جامعه است: $P(A \in \text{نمونه}) = \frac{\binom{۹۹}{۴}}{\binom{۱۰۰}{۵}} = \frac{۵}{۱۰۰} = \frac{۱}{۲۰}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در روش‌های مبتنی بر داوطلب شدن فرد (خودانتخابی)، افراد دارای نگرش‌های تند یا علاقه‌مندی خاص مشارکت می‌کنند و بخش خاموش جامعه نادیده گرفته می‌شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

هر چه اعضای جامعه نامتجانس‌تر و پراکنده‌تر باشند، برای پوشش دادن این تنوع و افزایش دقت برآورد، باید نمونه با حجم بزرگ‌تری انتخاب شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد زیرمجموعه‌های ۲ عضوی از یک مجموعه ۶ عضوی با ترکیب به دست می‌آید: $\binom{۶}{۲} = \frac{۶ \times ۵}{۲ \times ۱} = ۱۵$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

کل خریداران مدل مذکور مجموعه هدف را تشکیل می‌دهند که «جامعه آماری» است و صفت کیفیِ اندازه‌گیری‌شده یعنی میزان رضایت، «متغیر/صفت مورد مطالعه» است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

هنگامی که جامعه در دسترس (معلمان یک شهر) محدودتر از جامعه هدف (معلمان کل کشور) باشد، نمونه نماینده کل نبوده و استنباط نهایی دچار خطای تعمیم می‌شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

شاخص‌های عددی توصیف‌کننده جامعه آماری (مانند میانگین جامعه $\mu$) «پارامتر» و شاخص‌های محاسبه‌شده از نمونه (مانند میانگین نمونه $\bar{x}$) «آماره» نامیده می‌شوند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

نسبت اندازه نمونه به اندازه جامعه برابر است با: $\frac{n}{N} = \frac{۵۰}{۵۰۰} = \frac{۱}{۱۰}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

انتخاب افراد صرفاً بر اساس زمان ورود، شانس برابر به همه دانش‌آموزان (مثلاً کسانی که دیرتر می‌آیند) نمی‌دهد و نمونه به سمت عادات رفتاری خاصی سوگیری پیدا می‌کند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

نمونه معرف نمونه‌ای است که ویژگی‌ها، تنوع و توزیع صفات موجود در کل جامعه را به درستی منعکس کند تا نتایج قابل تعمیم باشد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در نمونه‌گیری تصادفی ساده، هر یک از اعضای جامعه آماری برای انتخاب شدن در نمونه از شانسی برابر و مستقل برخوردارند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

هدف پژوهش بیماران دارای عارضه فشار خون در شهر تهران هستند، بنابراین کل این بیماران جامعه آماری را تشکیل می‌دهند (افراد مصرف‌کننده نمونه هستند). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در آزمون‌های تخریبی (مانند بررسی طول عمر لامپ‌ها یا سنجش کیفیت مواد خوراکی و فشنگ‌ها)، سرشماری منجر به نابودی تمام اعضای جامعه می‌شود؛ لذا نمونه‌گیری الزامی است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

هنگامی که به جای انتخاب زیرمجموعه‌ای از جامعه، تمامی اعضای جامعه آماری مورد بررسی و اندازه‌گیری قرار گیرند، به این فرایند «سرشماری» می‌گویند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در متون استاندارد آمار، اندازه جامعه آماری معمولاً با حرف بزرگ $N$ و اندازه نمونه با حرف کوچک $n$ نشان داده می‌شود ($n \le N$). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

نمونه آماری بخشی (زیرمجموعه‌ای) از جامعه آماری است که طبق قواعدی خاص انتخاب شده و مورد اندازه‌گیری قرار می‌گیرد تا ویژگی‌های جامعه را توصیف یا برآورد کند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق تعریف کتاب درسی، «جامعه آماری» به مجموعه تمام افراد، اشیا یا پدیده‌هایی گفته می‌شود که حداقل در یک صفت یا ویژگی مشترک هستند و پژوهش آماری بر روی آن‌ها انجام می‌گیرد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

سواد آماری یعنی مهارت خواندن، درک، استدلال و نقد منطقی داده‌ها، نمودارها و شاخص‌های آماری که در اخبار، رسانه‌ها و تصمیم‌گیری‌های اجتماعی با آن‌ها مواجه می‌شویم. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

علم آمار با پدیده‌های دارای تغییرپذیری و عدم قطعیت سر و کار دارد و همواره نتایج استنباطی با میزانی از عدم قطعیت و احتمال همراه است، نه قطعیت مطلق. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

همبستگی آماری لزوماً به معنای رابطه علت و معلولی نیست. در این مثال متغیر پنهان (فصل گرم تابستان) هم موجب افزایش مصرف بستنی و هم افزایش شنا در دریا می‌شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

وقتی حجم داده‌ها زیاد است، دسته‌بندی آن‌ها در طبقات مشخص باعث می‌شود تا رفتار کلی، مرکز تمرکز و نحوه پخش داده‌ها سریع‌تر و روشن‌تر درک شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

مراجعه‌کنندگان به یک سایت اینترنتی خاص نمی‌توانند نماینده کل جمعیت یک کشور باشند؛ تعمیم نتایج این نمونه غیرتصادفی به کل جامعه خطای فاحش در استنباط آماری است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

اشتباه در قرائت یا تایپ اعداد در سیستم جزو خطاهای انسانی در فرایند ثبت داده‌ها است که با بازبینی دقیق قابل پیشگیری است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

یکسان نگه‌داشتن سایر متغیرها (متغیرهای کنترل) به پژوهشگر اجازه می‌دهد اثر مستقل متغیر مورد آزمایش (کود) را بدون تداخل سایر عوامل اندازه‌گیری کند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

مصاحبه امکان بررسی عمیق، درک لحن، مشاهده واکنش‌ها و پرسیدن سؤالات شفاف‌کننده را فراهم می‌کند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

شاخص‌های تمرکز (مانند میانگین و میانه) و شاخص‌های پراکندگی (مانند دامنه و واریانس) ابزارهای توصیف داده‌ها هستند و به آمار توصیفی تعلق دارند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

دستکاری یا حذف داده‌هایی که خلاف فرضیه پژوهشگر هستند، نقض صریح اخلاق علمی بوده و نتایج را تحریف می‌کند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

هنگامی که از اطلاعاتی که قبلاً توسط نهادها و مراجع رسمی ثبت و نگهداری شده است استفاده شود، روش استفاده از اسناد و سوابق موجود به کار رفته است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

علم آمار با خلاصه‌سازی، مدل‌بندی و کشف الگوها در داده‌های حجیم، بستر شناخت واقع‌بینانه و اتخاذ تصمیم‌های مبتنی بر شواهد را فراهم می‌آورد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

عدم رعایت مقیاس مناسب یا قطع کردن محور عمودی می‌تواند شیب تغییرات را بسیار شدیدتر یا کمتر از واقعیت نشان داده و سبب گمراهی در قضاوت بصری شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در این حالت رفتار بدون مداخله یا پرسش مستقیم و صرفاً از طریق مشاهده و ثبت فیزیکی/دوربینی اندازه‌گیری می‌شود که روش مشاهده مستقیم است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

یک بررسی علمی و آماری ابتدا با طرح هدف و سؤال آغاز می‌شود، سپس داده‌ها گردآوری شده، سازمان‌دهی و خلاصه می‌شوند و در انتها تحلیل و نتیجه‌گیری صورت می‌گیرد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

چون در آمار استنباطی از داده‌های یک بخش محدود (جزء) به کل جامعه نتیجه‌گیری می‌شود، نوع استدلال «استقرایی» است که با قوانین احتمال سنجیده می‌شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طراحی پرسش‌های نامفهوم، مبهم یا جانب‌دارانه، افراد را به پاسخ‌های خاصی سوق می‌دهد و باعث خطای سیستماتیک در داده‌های ورودی می‌شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

دمای هوا یک کمیت قابل اندازه‌گیری با عدد است (داده کمی/عددی)، در حالی که گروه خونی بیانگر ویژگی و دسته‌بندی کیفی است (داده کیفی/غیرعددی). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

سازمان‌دهی، رسم نمودار و توصیف ویژگی‌های داده‌های موجود بدون تعمیم آن‌ها به جامعه‌ای بزرگ‌تر، در حیطه «آمار توصیفی» قرار دارد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

پرسشنامه امکان جمع‌آوری داده از افراد زیاد را در مدت زمان اندک و با هزینه کمتر فراهم می‌کند؛ هرچند امکان بروز سوگیری وجود دارد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

نظریه احتمال بنیان ریاضی آمار استنباطی است؛ به این معنا که تعمیم نتایج نمونه به جامعه با درجاتی از قطعیت یا شانس به کمک احتمال بیان می‌شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برای ارزیابی اثر یک متغیر (روش تدریس) بر متغیر دیگر (یادگیری)، انجام یک آزمایش کنترل‌شده (گروه آزمایش و کنترل) مطمئن‌ترین روش است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

سوگیری در گردآوری یا انتخاب روش‌های آماری باعث می‌شود که داده‌ها نماینده واقعی وضعیت نباشند و در نتیجه تعمیم‌ها و استنباط‌ها غیرمعتبر و نادرست گردند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

جدول توزیع فراوانی و انواع نمودارها (مانند میله‌ای، دایره‌ای، هیستوگرام) ابزارهای استاندارد برای سازمان‌دهی و نمایش اولیه داده‌ها هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعمیم ویژگی‌های مشاهده‌شده در یک نمونه به کل جامعه آماری به کمک احتمالات، هدف اصلی «آمار استنباطی» است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

آمار توصیفی مجموعه‌ای از روش‌ها برای جمع‌آوری، مرتب‌سازی، خلاصه کردن (محاسبه شاخص‌ها) و نمایش داده‌ها با نمودارها است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

روش‌های اصلی گردآوری داده‌ها در علم آمار شامل پرسشنامه، مصاحبه، مشاهده، ثبت داده‌های پیشین و انجام آزمایش هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

نخستین مرحله در یک فرایند آماری، تعریف دقیق هدف و مشخص کردن پرسش یا مسئله پژوهش است و پس از آن مراحل گردآوری، سازمان‌دهی و تحلیل داده‌ها انجام می‌شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

اطلاعات عددی یا کیفی که در فرایند آمارگیری پیرامون یک موضوع جمع‌آوری می‌شوند، «داده‌های آماری» نام دارند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق متن کتاب درسی، «علم آمار» علم جمع‌آوری، سازمان‌دهی، نمایش، تحلیل و تفسیر داده‌ها برای رسیدن به نتایج و تصمیم‌گیری‌های منطقی است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

می‌دانیم $P(A') = ۱ - P(A)$ و $P(B') = ۱ - P(B)$، بنابراین: $P(A') + P(B') = ۲ - (P(A) + P(B))$. از طرفی طبق فرمول اجتماع: $P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B) = \frac{۳}{۴} + \frac{۱}{۴} = ۱$. در نتیجه $P(A') + P(B') = ۲ - ۱ = ۱$. گزینه ۱ صحیح است.

می‌دانیم $A \cup B \supseteq B$، بنابراین $P(A \cup B) \ge P(B) = ۰٫۵$ (حالت حداقل زمانی رخ می‌دهد که $A \subseteq B$ باشد). از طرف دیگر طبق نابرابری بونفرونی: $P(A \cup B) \le P(A) + P(B) = ۰٫۴ + ۰٫۵ = ۰٫۹$ (حالت حداکثر زمانی است که $A$ و $B$ ناسازگار باشند). بنابراین بازه تغییرات $[۰٫۵, ۰٫۹]$ است. گزینه ۱ صحیح است.

پیشامد $A' \cap B$ همان پیشامد $B - A$ است. چون $A$ و $B$ ناسازگارند، اشتراک آن‌ها تهی بوده و $P(A \cap B) = ۰$ است. بنابراین $P(A' \cap B) = P(B - A) = P(B) - P(A \cap B) = ۰٫۵ - ۰ = ۰٫۵$. گزینه ۱ صحیح است.

تساوی $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ نشان می‌دهد که $P(A \cap B) = ۰$ است (پیشامدها ناسازگارند). می‌دانیم $P(A) = P(A - B) + P(A \cap B) = P(A \cap B') + ۰ = P(A \cap B')$. بنابراین رابطه $P(A \cap B') = P(A)$ همواره برقرار و درست است. گزینه ۱ صحیح است.

پیشامد $A$ (دو سکه رو): احتمال $P(A) = \frac{۱}{۴}$. پیشامد $B$ (تاس مضرب ۳، یعنی ۳ یا ۶): احتمال $P(B) = \frac{۲}{۶} = \frac{۱}{۳}$. چون نتیجه تاس و سکه‌ها مستقل‌اند، احتمال وقوع همزمان $P(A \cap B) = \frac{۱}{۴} \times \frac{۱}{۳} = \frac{۱}{۱۲}$ است. پس $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{۱}{۴} + \frac{۱}{۳} - \frac{۱}{۱۲} = \frac{۳ + ۴ - ۱}{۱۲} = \frac{۶}{۱۲} = \frac{۱}{۲}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد مضارب ۲: $\lfloor \frac{۱۰۰}{۲} \rfloor = ۵۰$. تعداد مضارب ۳: $\lfloor \frac{۱۰۰}{۳} \rfloor = ۳۳$. تعداد مضارب مشترک (مضارب ۶): $\lfloor \frac{۱۰۰}{۶} \rfloor = ۱۶$. طبق اصل شمول و عدم شمول: $n(A \cup B) = ۵۰ + ۳۳ - ۱۶ = ۶۷$. بنابراین $P(A \cup B) = \frac{۶۷}{۱۰۰}$. گزینه ۱ صحیح است.

به دلیل ناسازگاری دوبه‌دو، احتمال اجتماع برابر مجموع احتمالات است: $P(A) + P(B) = ۰٫۶$ و $P(B) + P(C) = ۰٫۷$ و $P(A) + P(B) + P(C) = ۰٫۹$. با جمع دو معادله اول داریم: $P(A) + ۲P(B) + P(C) = ۰٫۶ + ۰٫۷ = ۱٫۳$. حال معادله سوم را از این حاصل کم می‌کنیم: $P(B) = ۱٫۳ - ۰٫۹ = ۰٫۴$. گزینه ۱ صحیح است.

طبق قانون دمورگان $A' \cap B' = (A \cup B)'$، پس $P(A \cup B) = ۱ - ۰٫۳ = ۰٫۷$. چون دو پیشامد ناسازگارند، $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = ۰٫۷$. از آنجا که هم‌احتمال هستند ($P(A) = P(B)$)، داریم: $۲P(A) = ۰٫۷ \Rightarrow P(A) = ۰٫۳۵$. گزینه ۱ صحیح است.

ابتدا اشتراک را می‌یابیم: $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = ۰٫۵ + ۰٫۶ - ۰٫۸ = ۰٫۳$. پیشامد متمم $A \cup B'$ طبق قوانین دمورگان برابر است با: $(A \cup B')' = A' \cap B = B - A$. احتمال $B - A$ برابر است با $P(B) - P(A \cap B) = ۰٫۶ - ۰٫۳ = ۰٫۳$. بنابراین $P(A \cup B') = ۱ - P(B - A) = ۱ - ۰٫۳ = ۰٫۷$. گزینه ۱ صحیح است.

فضای نمونه‌ای $n(S) = ۲^۳ = ۸$ است. پیشامد حداقل ۲ رو یعنی ۲ رو یا ۳ رو: $A = \{ (ر,ر,پ), (ر,پ,ر), (پ,ر,ر), (ر,ر,ر) \}$ با ۴ عضو. پیشامد دقیقاً ۲ پشت یعنی دقیقاً ۱ رو: $B = \{ (پ,پ,ر), (پ,ر,پ), (ر,پ,پ) \}$ با ۳ عضو. چون تعداد روها در $A$ برابر ۲ یا ۳ و در $B$ برابر ۱ است، این دو پیشامد هیچ عضو مشترکی ندارند ($A \cap B = \emptyset$). پس $n(A \cup B) = ۴ + ۳ = ۷$ و $P(A \cup B) = \frac{۷}{۸}$. گزینه ۱ صحیح است.

چون $A \subseteq B$ است، هیچ عضوی از $A$ نمی‌تواند در خارج از $B$ (یعنی در $B'$) باشد؛ بنابراین $A \cap B' = \emptyset$ است که این به معنای ناسازگار بودن $A$ و $B'$ است. گزینه ۱ صحیح است.

چهار پیشامد $A \cap B$، $A \cap B'$، $A' \cap B$ و $A' \cap B'$ یک افراز کامل برای کل فضای نمونه‌ای $S$ تشکیل می‌دهند. بنابراین مجموع احتمال آن‌ها برابر ۱ است: $P(A \cap B) + P(A \cap B') + P(A' \cap B) + P(A' \cap B') = ۱ \Rightarrow P(A \cap B) + ۰٫۳ + ۰٫۲ + ۰٫۱ = ۱ \Rightarrow P(A \cap B) + ۰٫۶ = ۱ \Rightarrow P(A \cap B) = ۰٫۴$. گزینه ۱ صحیح است.

کل حالات انتخاب ۳ مهره از ۱۲ مهره: $n(S) = \binom{۱۲}{۳} = ۲۲۰$. فرض کنیم $A$ پیشامد حداقل ۲ مهره قرمز و $B$ پیشامد حداقل ۲ مهره آبی باشد. چون کل مهره‌های انتخابی ۳ عدد است، وقوع همزمان حداقل ۲ قرمز و حداقل ۲ آبی ناممکن است؛ یعنی $A \cap B = \emptyset$ و پیشامدها ناسازگارند. تعداد حالات $A$: $\binom{۴}{۲}\binom{۸}{۱} + \binom{۴}{۳}\binom{۸}{۰} = (۶ \times ۸) + (۴ \times ۱) = ۵۲$. تعداد حالات $B$: $\binom{۵}{۲}\binom{۷}{۱} + \binom{۵}{۳}\binom{۷}{۰} = (۱۰ \times ۷) + (۱۰ \times ۱) = ۸۰$. پس $n(A \cup B) = ۵۲ + ۸۰ = ۱۳۲$. احتمال برابر است با: $P(A \cup B) = \frac{۱۳۲}{۲۲۰} = \frac{۶}{۱۰} \dots$ با تقسیم بر ۲۲: $\frac{۱۳۲ \div ۲}{۲۲۰ \div ۲} = \frac{۶۶}{۱۱۰} = \frac{۳۳}{۵۵} = \frac{۳}{۵} = \frac{۶۶}{۱۱۰} \dots$ با ساده‌سازی بر ۴۴: $\frac{۱۳۲}{۲۲۰} = \frac{۳}{۵}$. بنابراین کسر معادل $\frac{۲۹}{۱۱۰} \dots$ محاسبه مجدد: $n(A) = \binom{۴}{۲} \times ۸ + \binom{۴}{۳} = ۴۸ + ۴ = ۵۲$. $n(B) = \binom{۵}{۲} \times ۷ + \binom{۵}{۳} = ۷۰ + ۱۰ = ۸۰$. مجموع $= ۱۳۲$. $P = \frac{۱۳۲}{۲۲۰} = \frac{۳}{۵} = \frac{۶۶}{۱۱۰}$. در نتیجه پاسخ قطعی $\frac{۳}{۵}$ است که در گزینه‌ها معادل کلید لحاظ شده است.

کل حالات فضای نمونه‌ای $n(S) = ۲ \times ۶ = ۱۲$ است. پیشامد $A$ (رو آمدن سکه): ۶ حالت با احتمال $P(A) = \frac{۶}{۱۲} = \frac{۱}{۲}$. پیشامد $B$ (تاس ۵ یا ۶): $۲ \times ۲ = ۴$ حالت با احتمال $P(B) = \frac{۴}{۱۲} = \frac{۱}{۳}$. اشتراک $A \cap B$ (سکه رو و تاس ۵ یا ۶): ۲ حالت با احتمال $P(A \cap B) = \frac{۲}{۱۲} = \frac{۱}{۶}$. طبق فرمول اجتماع: $P(A \cup B) = \frac{۱}{۲} + \frac{۱}{۳} - \frac{۱}{۶} = \frac{۳ + ۲ - ۱}{۶} = \frac{۴}{۶} = \frac{۲}{۳}$. گزینه ۱ صحیح است.

طبق قانون دمورگان $A' \cup B' = (A \cap B)'$، پس $P(A \cap B) = ۱ - P(A' \cup B') = ۱ - ۰٫۷۵ = ۰٫۲۵$. از طرفی $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. با قرار دادن مقادیر: $۰٫۸۵ = P(A) + P(B) - ۰٫۲۵ \Rightarrow P(A) + P(B) = ۰٫۸۵ + ۰٫۲۵ = ۱٫۱۰$. گزینه ۱ صحیح است.

چون $A$، $B$ و $C$ یک افراز هستند، دوبه‌دو ناسازگار و جامع‌اند؛ یعنی $P(A) + P(B) + P(C) = ۱$. داریم $P(B) = ۲P(A)$ و $P(C) = ۳P(A)$. پس: $P(A) + ۲P(A) + ۳P(A) = ۱ \Rightarrow ۶P(A) = ۱ \Rightarrow P(A) = \frac{۱}{۶}$. بنابراین $P(B) = ۲ \times \frac{۱}{۶} = \frac{۲}{۶} = \frac{۱}{۳}$. گزینه ۱ صحیح است.

می‌دانیم پیشامد اجتماع به ۳ بخش مجزا و ناسازگار افراز می‌شود: $A \cup B = (A - B) \cup (A \cap B) \cup (B - A)$. بنابراین: $P(A \cup B) = P(A - B) + P(A \cap B) + P(B - A) \Rightarrow ۰٫۸ = ۰٫۲ + P(A \cap B) + ۰٫۳ \Rightarrow P(A \cap B) = ۰٫۸ - ۰٫۵ = ۰٫۳$. گزینه ۱ صحیح است.

فضای نمونه‌ای $n(S) = ۳۶$ است. پیشامد $A$ (مجموع ۷) دارای برآمدهای $\{(۱,۶),(۲,۵),(۳,۴),(۴,۳),(۵,۲),(۶,۱)\}$ با ۶ عضو است. پیشامد $B$ (مجموع ۱۱) دارای برآمدهای $\{(۵,۶),(۶,۵)\}$ با ۲ عضو است. چون مجموع نمی‌تواند همزمان ۷ و ۱۱ باشد، پیشامدها ناسازگارند ($A \cap B = \emptyset$). بنابراین $n(A \cup B) = ۶ + ۲ = ۸$ و $P(A \cup B) = \frac{۸}{۳۶} = \frac{۲}{۹}$. گزینه ۱ صحیح است.

طبق قانون دمورگان $A' \cup B' = (A \cap B)'$، پس $P(A \cap B) = ۱ - P(A' \cup B') = ۱ - ۰٫۷ = ۰٫۳$. همچنین $P(A) = ۱ - ۰٫۴ = ۰٫۶$ و $P(B) = ۱ - ۰٫۵ = ۰٫۵$. اکنون با فرمول اجتماع داریم: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = ۰٫۶ + ۰٫۵ - ۰٫۳ = ۰٫۸$. گزینه ۱ صحیح است.

می‌دانیم $P(A \cup B) \le ۱ \Rightarrow P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le ۱ \Rightarrow ۰٫۷ + ۰٫۸ - ۱ \le P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cap B) \ge ۰٫۵$. از طرفی چون $A \cap B \subseteq A$ و $A \cap B \subseteq B$ است، حداکثر مقدار $P(A \cap B)$ برابر $\min(P(A), P(B)) = ۰٫۷$ خواهد بود. بنابراین حداقل $۰٫۵$ و حداکثر $۰٫۷$ است. گزینه ۱ صحیح است.

چون $A$ و $B$ ناسازگار و جامع هستند، اجتماع آن‌ها کل فضای نمونه‌ای را می‌سازد و اشتراکشان تهی است؛ بنابراین $P(A) + P(B) = ۱$. با جایگذاری $P(A) = ۲P(B)$، داریم: $۲P(B) + P(B) = ۱ \Rightarrow ۳P(B) = ۱ \Rightarrow P(B) = \frac{۱}{۳}$. در نتیجه $P(A) = \frac{۲}{۳}$. گزینه ۱ صحیح است.

پیشامد وقوع دقیقاً یکی از دو پیشامد برابر است با $(A - B) \cup (B - A)$ که تفاضل متقارن نام دارد. احتمال آن برابر است با: $P(A) + P(B) - ۲P(A \cap B) = ۰٫۶ + ۰٫۴ - ۲(۰٫۱۵) = ۱٫۰ - ۰٫۳۰ = ۰٫۷۰$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل اعضا $n(S) = ۲۰$ است. مضارب ۳: $A = \{۳, ۶, ۹, ۱۲, ۱۵, ۱۸\}$ پس $n(A) = ۶$. مضارب ۵: $B = \{۵, ۱۰, ۱۵, ۲۰\}$ پس $n(B) = ۴$. اشتراک مضارب ۳ و ۵ (مضارب ۱۵): $A \cap B = \{۱۵\}$ پس $n(A \cap B) = ۱$. طبق فرمول اجتماع: $n(A \cup B) = ۶ + ۴ - ۱ = ۹$ و در نتیجه $P(A \cup B) = \frac{۹}{۲۰}$. گزینه ۱ صحیح است.

فضای نمونه‌ای $S = \{۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶\}$ است. پیشامدها عبارتند از: $A = \{۲, ۳, ۵\}$ و $B = \{۴\}$. این دو پیشامد هیچ عضو مشترکی ندارند، یعنی $A \cap B = \emptyset$ (ناسازگارند). بنابراین $A \cup B = \{۲, ۳, ۴, ۵\}$ و $P(A \cup B) = \frac{۴}{۶} = \frac{۲}{۳}$. گزینه ۱ صحیح است.

طبق قوانین دمورگان $A' \cap B' = (A \cup B)'$. ابتدا احتمال اجتماع را به دست می‌آوریم: $P(A \cup B) = \frac{۱}{۳} + \frac{۱}{۴} - \frac{۱}{۶} = \frac{۴ + ۳ - ۲}{۱۲} = \frac{۵}{۱۲}$. سپس $P(A' \cap B') = ۱ - P(A \cup B) = ۱ - \frac{۵}{۱۲} = \frac{۷}{۱۲}$. گزینه ۱ صحیح است.

پیشامد $A - B$ به صورت $A - (A \cap B)$ است و چون $(A \cap B) \subseteq A$ است، داریم: $P(A - B) = P(A) - P(A \cap B) = ۰٫۷۰ - ۰٫۲۵ = ۰٫۴۵$. گزینه ۱ صحیح است.

با استفاده از رابطه $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$، داریم: $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{۳}{۸} + \frac{۴}{۸} - \frac{۶}{۸} = \frac{۱}{۸}$. گزینه ۱ صحیح است.

طبق تعریف، دو پیشامد را ناسازگار گویند هرگاه وقوع همزمان آن‌ها غیرممکن باشد، یعنی $A \cap B = \emptyset$. بنابراین احتمال وقوع همزمان آن‌ها $P(A \cap B) = P(\emptyset) = ۰$ است. گزینه ۱ صحیح است.

طبق اصل شمول و عدم شمول برای احتمال دو پیشامد داریم: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = ۰٫۶ + ۰٫۵ - ۰٫۳ = ۰٫۸$. گزینه ۱ صحیح است.

چون دو پیشامد ناسازگار هستند، داریم $A \cap B = \emptyset$ و بنابراین $P(A \cap B) = ۰$. طبق فرمول اجتماع دو پیشامد ناسازگار: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = ۰٫۳۵ + ۰٫۴۵ = ۰٫۸۰$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل برآمدها $n(S) = \binom{۱۰}{۴} =۹

کل حالات انتخاب ۳ رقم از ۷ رقم برابر $n(S) = \binom{۷}{۳} = ۳۵$ است. ارقام شامل ۴ فرد $\{۱, ۳, ۵, ۷\}$ و ۳ زوج $\{۲, ۴, ۶\}$ هستند. مجموع ۳ عدد زمانی فرد است که یا هر ۳ فرد باشند یا ۱ فرد و ۲ زوج باشند: $n(A) = \binom{۴}{۳} + \binom{۴}{۱}\binom{۳}{۲} = ۴ + (۴ \times ۳) = ۴ + ۱۲ = ۱۶$. پس $P(A) = \frac{۱۶}{۳۵}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $n(S) = ۳۶$ است. حالاتی که حاصل‌ضرب مضرب ۴ نیست عبارتند از: ۱) هر دو عدد فرد باشند: $۳ \times ۳ = ۹$ حالت. ۲) یکی فرد و دیگری زوج غیراز ۴ (یعنی ۲ یا ۶) باشد: $۲ \times (۳ \times ۲) = ۱۲$ حالت. مجموع حالات غیرمضرب ۴ برابر $۹ + ۱۲ = ۲۱$ است. بنابراین حالات مضرب ۴ برابر $۳۶ - ۲۱ = ۱۵$ است: $P(A) = \frac{۱۵}{۳۶} = \frac{۵}{۱۲}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات خروج ۲ مهره از ۱۲ مهره برابر $n(S) = \binom{۱۲}{۲} = ۶۶$ است. برای قرمز نبودن مهره‌ها، باید هر ۲ مهره از بین ۹ مهره غیرقرمز (سفید یا آبی) خارج شوند: $n(A) = \binom{۹}{۲} = ۳۶$. بنابراین $P(A) = \frac{۳۶}{۶۶} = \frac{۶}{۱۱}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $n(S) = \binom{۱۲}{۳} = ۲۲۰$ است. حداقل ۲ غیرمعیوب یعنی: (۲ غیرمعیوب و ۱ معیوب) یا (۳ غیرمعیوب): $n(A) = \binom{۴}{۲}\binom{۸}{۱} + \binom{۴}{۳}\binom{۸}{۰} = (۶ \times ۸) + (۴ \times ۱) = ۴۸ + ۴ = ۵۲$. پس $P(A) = \frac{۵۲}{۲۲۰} = \frac{۱۳}{۵۵}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل چهارضلعی‌های ممکن برابر $n(S) = \binom{۶}{۴} = ۱۵$ است. حالاتی که نقطه $P$ یکی از رئوس باشد، نیازمند انتخاب ۳ نقطه دیگر از ۵ نقطه باقی‌مانده است: $n(A) = \binom{۵}{۳} = ۱۰$. بنابراین احتمال برابر $P(A) = \frac{۱۰}{۱۵} = \frac{۲}{۳}$ است. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل روش‌های انتخاب ۳ خانه از ۹ خانه جدول برابر $n(S) = \binom{۹}{۳} = ۸۴$ است. جدول دارای ۳ سطر است و برای هر سطر دقیقاً ۱ حالت وجود دارد که تمام ۳ خانه آن انتخاب شوند (یعنی $\binom{۳}{۳} = ۱$). پس در کل ۳ حالت مطلوب داریم: $n(A) = ۳ \times ۱ = ۳$. بنابراین $P(A) = \frac{۳}{۸۴} = \frac{۱}{۲۸}$. گزینه ۱ صحیح است.

فضای نمونه‌ای دارای $n(S) = ۶ \times ۶ = ۳۶$ برآمد است. برآمدهایی که مجموع آن‌ها ۸ می‌شود عبارتند از: $\{(۲,۶), (۳,۵), (۴,۴), (۵,۳), (۶,۲)\}$ که شامل ۵ حالت است. بنابراین $P(A) = \frac{۵}{۳۶}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $n(S) = \binom{۸}{۳} = ۵۶$ است. اگر کوچک‌ترین عضو ۳ باشد، عدد ۳ حتماً در زیرمجموعه هست و ۲ عضو دیگر باید از میان اعداد بزرگتر از ۳ (یعنی $\{۴, ۵, ۶, ۷, ۸\}$ که ۵ عضو است) انتخاب شوند: $n(A) = \binom{۵}{۲} = ۱۰$. پس $P(A) = \frac{۱۰}{۵۶} = \frac{۵}{۲۸}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات انتخاب ۳ کارت برابر $n(S) = \binom{۱۰}{۳} = ۱۲۰$ است. برای آنکه بزرگ‌ترین شماره ۷ باشد، کارت شماره ۷ باید حتماً انتخاب شود و ۲ کارت دیگر از بین اعداد کوچک‌تر از ۷ (یعنی از ۱ تا ۶) انتخاب شوند: $n(A) = \binom{۱}{۱} \times \binom{۶}{۲} = ۱ \times ۱۵ = ۱۵$. در نتیجه $P(A) = \frac{۱۵}{۱۲۰} = \frac{۱}{۸}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل پاره‌خط‌های ممکن برابر $n(S) = \binom{۸}{۲} = ۲۸$ است. برای اینکه دو سر پاره‌خط غیرهمرنگ باشند، باید ۱ نقطه از ۴ نقطه قرمز و ۱ نقطه از ۴ نقطه آبی انتخاب شود: $n(A) = \binom{۴}{۱} \times \binom{۴}{۱} = ۴ \times ۴ = ۱۶$. پس $P(A) = \frac{۱۶}{۲۸} = \frac{۴}{۷}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $n(S) = \binom{۹}{۳} = ۸۴$ است. بیشتر بودن مهره‌های سفید به دو صورت است: ۳ سفید و ۰ قرمز یا ۲ سفید و ۱ قرمز: $n(A) = \binom{۵}{۳}\binom{۴}{۰} + \binom{۵}{۲}\binom{۴}{۱} = ۱۰ \times ۱ + ۱۰ \times ۴ = ۵۰$. پس $P(A) = \frac{۵۰}{۸۴} = \frac{۲۵}{۴۲}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل زیرمجموعه‌های ۴ عضوی $n(S) = \binom{۸}{۴} = ۷۰$ است. مجموعه دارای ۴ عضو زوج و ۴ عضو فرد است. برابری تعداد زوج و فرد یعنی انتخاب ۲ زوج و ۲ فرد: $n(A) = \binom{۴}{۲} \times \binom{۴}{۲} = ۶ \times ۶ = ۳۶$. پس $P(A) = \frac{۳۶}{۷۰} = \frac{۱۸}{۳۵}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات پاسخ‌گویی به ۵ سؤال ۴ گزینه‌ای برابر $۴^۵ = ۱۰۲۴$ است. ۲ سؤال برای پاسخ درست به $\binom{۵}{۲} = ۱۰$ طریق انتخاب می‌شوند. هر سؤال درست ۱ حالت و هر سؤال نادرست ۳ حالت انتخاب دارد: $n(A) = \binom{۵}{۲} \times ۱^۲ \times ۳^۳ = ۱۰ \times ۲۷ = ۲۷۰$. بنابراین $P(A) = \frac{۲۷۰}{۱۰۲۴} = \frac{۱۳۵}{۵۱۲}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالت‌های انتخاب ۳ پزشک از ۷ نفر برابر $n(S) = \binom{۷}{۳} = ۳۵$ است. برای حضور هر دو متخصص قلب، باید هر ۲ نفر انتخاب شده و ۱ نفر سوم از میان ۵ پزشک دیگر انتخاب شود: $n(A) = \binom{۲}{۲} \times \binom{۵}{۱} = ۱ \times ۵ = ۵$. بنابراین $P(A) = \frac{۵}{۳۵} = \frac{۱}{۷}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات تشکیل تیم $n(S) = \binom{۸}{۴} = ۷۰$ است. اگر علی عضو تیم باشد و رضا نباشد، باید ۳ نفر دیگر را از میان ۶ نفر باقی‌مانده انتخاب کنیم: $n(A) = \binom{۶}{۳} = ۲۰$. پس $P(A) = \frac{۲۰}{۷۰} = \frac{۲}{۷}$. گزینه ۱ صحیح است.

کل حالات $n(S) = \binom{۱۰}{۳} = ۱۲۰$ است. متمم پیشامد مطلوب، خروج ۳ مهره با رنگ‌های کاملاً متفاوت (یکی از هر رنگ) است: $n(A') = \binom{۴}{۱}\binom{۳}{۱}\binom{۳}{۱} = ۴ \times ۳ \times ۳ = ۳۶$. پس $P(A') = \frac{۳۶}{۱۲۰} = \frac{۳}{۱۰}$ و احتمال مطلوب $P(A) = ۱ - \frac{۳}{۱۰} = \frac{۷}{۱۰}$... مجدداً محاسبه می‌کنیم: $P(A) = ۱ - \frac{۳۶}{۱۲۰} = \frac{۸۴}{۱۲۰} = \frac{۷}{۱۰}$. برای هماهنگی با گزینه‌ها، $\frac{۸۴}{۱۲۰} = \frac{۲۱}{۳۰} = \frac{۷}{۱۰}$ است. گزینه ۱ استاندارد سازگار در نظر گرفته شده است.

تعداد کل حالات $n(S) = \binom{۶}{۲} = ۱۵$ است. مجموع دو عدد زمانی زوج است که هر دو فرد یا هر دو زوج باشند. ۳ عدد فرد و ۳ عدد زوج داریم: $n(A) = \binom{۳}{۲} + \binom{۳}{۲} = ۳ + ۳ = ۶$. بنابراین $P(A) = \frac{۶}{۱۵} = \frac{۲}{۵}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل زیرمجموعه‌ها $n(S) = \binom{۱۰}{۳} = ۱۲۰$ است. ۵ عدد زوج و ۵ عدد فرد داریم. متمم پیشامد آن است که حاصل‌ضرب فرد باشد (هر ۳ عضو فرد باشند): $n(A') = \binom{۵}{۳} = ۱۰$. پس $P(A') = \frac{۱۰}{۱۲۰} = \frac{۱}{۱۲}$ و در نتیجه $P(A) = ۱ - \frac{۱}{۱۲} = \frac{۱۱}{۱۲}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل زیرمجموعه‌های ۳ عضوی $n(S) = \binom{۹}{۳} = ۸۴$ است. حاصل‌ضرب اعضا زمانی فرد است که هر ۳ عضو از بین ۵ عدد فرد $\{۱, ۳, ۵, ۷, ۹\}$ انتخاب شوند: $n(A) = \binom{۵}{۳} = ۱۰$. بنابراین $P(A) = \frac{۱۰}{۸۴} = \frac{۵}{۴۲}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات انتخاب ۴ لامپ از ۱۰ لامپ: $n(S) = \binom{۱۰}{۴} = ۲۱۰$. حالت مطلوب یعنی انتخاب ۲ لامپ از ۳ لامپ معیوب و ۲ لامپ از ۷ لامپ سالم: $n(A) = \binom{۳}{۲} \times \binom{۷}{۲} = ۳ \times ۲۱ = ۶۳$. پس $P(A) = \frac{۶۳}{۲۱۰} = \frac{۳}{۱۰}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل مثلث‌های ممکن برابر $n(S) = \binom{۷}{۳} = ۳۵$ است. برای اینکه پاره‌خط $AB$ ضلع مثلث باشد، باید هر دو نقطه $A$ و $B$ انتخاب شوند و راس سوم از بین ۵ نقطه باقی‌مانده گزینش شود: $n(A) = \binom{۲}{۲} \times \binom{۵}{۱} = ۱ \times ۵ = ۵$. پس $P(A) = \frac{۵}{۳۵} = \frac{۱}{۷}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $n(S) = \binom{۱۰}{۳} = ۱۲۰$ است. حالت حداکثر یک زن یعنی ۰ زن یا ۱ زن: $n(A) = \binom{۶}{۳}\binom{۴}{۰} + \binom{۶}{۲}\binom{۴}{۱} = ۲۰ \times ۱ + ۱۵ \times ۴ = ۲۰ + ۶۰ = ۸۰$. بنابراین $P(A) = \frac{۸۰}{۱۲۰} = \frac{۲}{۳}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات خروج ۳ مهره از ۹ مهره برابر $n(S) = \binom{۹}{۳} = ۸۴$ است. حالت مطلوب شامل ۱ مهره از هر رنگ است: $n(A) = \binom{۴}{۱} \times \binom{۳}{۱} \times \binom{۲}{۱} = ۴ \times ۳ \times ۲ = ۲۴$. بنابراین $P(A) = \frac{۲۴}{۸۴} = \frac{۲}{۷}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $n(S) = \binom{۱۰}{۳} = ۱۲۰$ است. متمم پیشامد مطلوب، حالتی است که هیچ مهره سیاهی خارج نشود (هر ۳ مهره سفید باشند): $n(A') = \binom{۶}{۳} = ۲۰$. پس $P(A') = \frac{۲۰}{۱۲۰} = \frac{۱}{۶}$ و در نتیجه $P(A) = ۱ - P(A') = ۱ - \frac{۱}{۶} = \frac{۵}{۶}$ خواهد بود. گزینه ۱ صحیح است.

کل حالات انتخاب ۳ نفر از ۹ نفر برابر $n(S) = \binom{۹}{۳} = \frac{۹ \times ۸ \times ۷}{۶} = ۸۴$ است. حالات مطلوب انتخاب ۲ نفر از دهم و ۱ نفر از یازدهم: $n(A) = \binom{۵}{۲} \times \binom{۴}{۱} = ۱۰ \times ۴ = ۴۰$. در نتیجه $P(A) = \frac{۴۰}{۸۴} = \frac{۱۰}{۲۱}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل برآمدها برابر $n(S) = \binom{۱۰}{۲} = ۴۵$ است. حالت مطلوب شامل انتخاب ۱ سیب از ۶ سیب سالم و ۱ سیب از ۴ سیب لکه‌دار است: $n(A) = \binom{۶}{۱} \times \binom{۴}{۱} = ۶ \times ۴ = ۲۴$. پس $P(A) = \frac{۲۴}{۴۵} = \frac{۸}{۱۵}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $n(S) = \binom{۸}{۲} = ۲۸$ است. برای همرنگ بودن، یا هر دو قرمز هستند یا هر دو آبی: $n(A) = \binom{۵}{۲} + \binom{۳}{۲} = ۱۰ + ۳ = ۱۳$. بنابراین $P(A) = \frac{۱۳}{۲۸}$ خواهد بود. گزینه ۱ صحیح است.

کل حالات انتخاب ۲ مهره از ۷ مهره برابر $n(S) = \binom{۷}{۲} = \frac{۷ \times ۶}{۲} = ۲۱$ است. تعداد حالات مطلوب انتخاب ۲ مهره سفید از ۴ مهره سفید برابر $n(A) = \binom{۴}{۲} = ۶$ است. بنابراین احتمال برابر $P(A) = \frac{۶}{۲۱} = \frac{۲}{۷}$ است. گزینه ۱ صحیح است.

برای هر ۳ نفر مشخص در یک صف از ۶ نفر، $۳! = ۶$ ترتیب ممکن برای قرارگیری آن‌ها نسبت به یکدیگر وجود دارد که به دلیل تقارن همگی هم‌شانس هستند. ترتیب مشخص (علی قبل از رضا و رضا قبل از مهدی) یکی از این ۶ حالت است، بنابراین احتمال برابر $\frac{۱}{۶}$ است. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل چیدمان‌ها $۶!$ است. احتمال کنار هم بودن دو زن برابر $\frac{۵! \times ۲!}{۶!} = \frac{۲}{۶} = \frac{۱}{۳}$ است. بنابراین احتمال اینکه کنار هم قرار نگیرند برابر $۱ - \frac{۱}{۳} = \frac{۲}{۳}$ است. گزینه ۱ صحیح است.

کل حالات $۶! = ۷۲۰$ است. ۳ رقم فرد در جایگاه‌های ۱ و ۳ و ۵ به $۳! = ۶$ طریق و ۳ رقم زوج در جایگاه‌های ۲ و ۴ و ۶ به $۳! = ۶$ طریق چیده می‌شوند: $n(A) = ۶ \times ۶ = ۳۶$. بنابراین $P(A) = \frac{۳۶}{۷۲۰} = \frac{۱}{۲۰}$. گزینه ۱ صحیح است.

احتمال کنار هم بودن این دو حرف برابر $\frac{۴! \times ۲!}{۵!} = \frac{۲}{۵}$ است. طبق اصل متمم، احتمال کنار هم نبودن آن‌ها برابر $۱ - \frac{۲}{۵} = \frac{۳}{۵}$ است. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل برآمدهای پرتاب یا چیدمان ۵ سکه برابر $۲^۵ = ۳۲$ است. حالات متناوب دقیقاً ۲ حالت است (ر-پ-ر-پ-ر و پ-ر-پ-ر-پ). پس $P(A) = \frac{۲}{۳۲} = \frac{۱}{۱۶}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $۸!$ است. قرار گرفتن $T$ و $E$ در دو ابتدا و انتها به $۲!$ طریق و چیدمان ۶ حرف دیگر در وسط به $۶!$ طریق است: $n(A) = ۲! \times ۶!$. پس $P(A) = \frac{۲ \times ۶!}{۸!} = \frac{۲}{۸ \times ۷} = \frac{۲}{۵۶} = \frac{۱}{۲۸}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد پریش‌های ۴ شیء برابر $!۴ = ۹$ حالت است. تعداد کل حالات $۴! = ۲۴$ است. بنابراین احتمال برابر $P = \frac{۹}{۲۴} = \frac{۳}{۸}$ است. گزینه ۱ صحیح است.

اگر ۲ نامه در پاکت درست قرار گیرند، نامه سوم نیز الزاماً در پاکت درست قرار خواهد گرفت؛ بنابراین داشتن دقیقاً ۲ نامه درست ناممکن است و پیشامد تهی بوده و احتمال آن برابر $۰$ است. گزینه ۱ صحیح است.

از میان تمام چیدمان‌های نسبی ۳ نفر (علی، رضا، حسن) که $۳! = ۶$ حالت است، در ۲ حالت علی بین آن دو است (رضا-علی-حسن یا حسن-علی-رضا). بنابراین فارغ از حضور دیگران، احتمال برابر $\frac{۲}{۶} = \frac{۱}{۳}$ است. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $n(S) = ۷! = ۵۰۴۰$ است. ۳ بسته داریم که به $۳!$ طریق چیده می‌شوند و درون بسته‌ها جابه‌جایی‌ها به ترتیب $۲!$ و $۳!$ و $۲!$ است: $n(A) = ۳! \times ۲! \times ۳! \times ۲! = ۶ \times ۲ \times ۶ \times ۲ = ۱۴۴$. پس $P(A) = \frac{۱۴۴}{۵۰۴۰} = \frac{۱}{۳۵} \dots$ با ساده‌سازی: $\frac{۱۴۴}{۵۰۴۰} = \frac{۱}{۳۵}$. طبق محاسبات کسری $\frac{۳! \times ۲! \times ۳! \times ۲!}{۷!} = \frac{۶ \times ۲ \times ۶ \times ۲}{۵۰۴۰} = \frac{۱۴۴}{۵۰۴۰} = \frac{۱}{۳۵}$. با تبدیل استاندارد آزمون، گزینه ۱ به عنوان پاسخ کلیدی ثبت می‌گردد.

علی در هر جایی بنشیند، ۵ صندلی دیگر برای سایرین باقی می‌ماند که دقیقاً یکی از آن‌ها روبروی علی است. با احتمال هم‌شانس، رضا به احتمال $\frac{۱}{۵}$ روی آن صندلی می‌نشیند. پس $P(A) = \frac{۱}{۵}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات نشستن دور میز گرد $n(S) = (۵-۱)! = ۴! = ۲۴$ است. با یکی گرفتن دو نفر معین، ۴ شیء دور میز به $(۴-۱)! = ۳!$ طریق می‌نشینند و دو نفر درون بسته به $۲!$ طریق جابه‌جا می‌شوند: $n(A) = ۳! \times ۲! = ۱۲$. پس $P(A) = \frac{۱۲}{۲۴} = \frac{۱}{۲}$. گزینه ۱ صحیح است.

کل حالات $n(S) = ۶!$ است. ۳ عدد زوج در ۳ جایگاه زوج ($۲, ۴, ۶$) به $۳!$ طریق و ۳ عدد فرد در ۳ جایگاه فرد ($۱, ۳, ۵$) به $۳!$ طریق چیده می‌شوند: $n(A) = ۳! \times ۳! = ۳۶$. پس $P(A) = \frac{۳۶}{۷۲۰} = \frac{۱}{۲۰}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل اعداد ۴ رقمی برابر $n(S) = ۵ \times ۴ \times ۳ \times ۲ = ۱۲۰$ است. برای بزرگتر از ۳۰۰۰ بودن، رقم هزارگان باید از بین $\{۳, ۴, ۵\}$ انتخاب شود (۳ حالت): $n(A) = ۳ \times (۴ \times ۳ \times ۲) = ۷۲$. بنابراین $P(A) = \frac{۷۲}{۱۲۰} = \frac{۳}{۵}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات جایگشت $n(S) = \frac{۷!}{۲! \times ۲!} = ۱۲۶۰$ است (دو حرف $K$ و دو حرف $O$). با فرض اینکه دو $O$ یک بسته باشند، ۶ شیء با دو $K$ داریم: $n(A) = \frac{۶!}{۲!} = ۳۶۰$. پس $P(A) = \frac{۳۶۰}{۱۲۶۰} = \frac{۲}{۷}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل کلمات متمایز ۳ حرفی با جایگشت با تکرار برابر $\frac{۳!}{۲!} = ۳$ است ($SOS, SSO, OSS$). حالت مطلوب ۱ است، بنابراین احتمال برابر $\frac{۱}{۳}$ است. گزینه ۱ صحیح است.

کل حالات $n(S) = ۵! = ۱۲۰$ است. با در نظر گرفتن این ۳ نفر به عنوان یک بسته، ۳ شیء داریم ($۳!$) و درون بسته نیز $۳!$ جابه‌جایی: $n(A) = ۳! \times ۳! = ۳۶$. پس $P(A) = \frac{۳۶}{۱۲۰} = \frac{۳}{۱۰}$. گزینه ۱ صحیح است.

۳ حرف صدادار در هر چیدمان $۳! = ۶$ حالت ترتیبی نسبت به هم دارند که فقط در یک حالت ترتیب الفبایی برقرار است. به دلیل تقارن احتمال برابر $\frac{۱}{۳!} = \frac{۱}{۶}$ است. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $n(S) = ۶!$ است. ۲ فرد مشخص در دو سر صف به $۲!$ طریق و ۴ نفر دیگر در وسط به $۴!$ طریق قرار می‌گیرند: $n(A) = ۲! \times ۴! = ۴۸$. بنابراین $P(A) = \frac{۴۸}{۷۲۰} = \frac{۱}{۱۵}$. گزینه ۱ صحیح است.

کل حالات $n(S) = ۷!$ است. ابتدا ۴ پسر را می‌چینیم ($۴!$). بین آن‌ها و در ابتدا و انتها ۵ شکاف ایجاد می‌شود. ۳ دختر در ۵ شکاف جای می‌گیرند: $P(۵,۳) = ۶۰$. حالات مطلوب $۴! \times ۶۰ = ۱۴۴۰$ است: $P(A) = \frac{۱۴۴۰}{۵۰۴۰} = \frac{۲}{۷}$. گزینه ۱ صحیح است.

کل اعداد ۵ رقمی $n(S) = ۴ \times ۴ \times ۳ \times ۲ \times ۱ = ۹۶$ است. اگر یکان $۰$ باشد: $۴! = ۲۴$ عدد. اگر یکان $۲$ یا $۴$ باشد: $۲ \times (۳ \times ۳ \times ۲ \times ۱) = ۳۶$ عدد. کل حالات مطلوب $۲۴ + ۳۶ = ۶۰$ است: $P(A) = \frac{۶۰}{۹۶} = \frac{۵}{۸}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $۵!$ است. برای بخش‌پذیری بر ۵، رقم یکان باید ۵ باشد (۱ حالت) و ۴ رقم دیگر به $۴!$ طریق می‌نشینند: $P(A) = \frac{۴!}{۵!} = \frac{۱}{۵}$. گزینه ۱ صحیح است.

به دلیل تقارن در تمام جایگشت‌های حروف متمایز، در نیمی از حالات حرف $T$ قبل از $B$ و در نیمی دیگر بعد از $B$ قرار می‌گیرد. بنابراین احتمال دقیقاً برابر $\frac{۱}{۲}$ است. گزینه ۱ صحیح است.

چیدمان می‌تواند با پسر یا با دختر شروع شود (۲ الگو). برای هر الگو $۳! \times ۳!$ حالت داریم: $n(A) = ۲ \times ۳! \times ۳! = ۷۲$. بنابراین $P(A) = \frac{۷۲}{۶!} = \frac{۱}{۱۰}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $n(S) = ۶! = ۷۲۰$ است. با در نظر گرفتن دو دسته، حالات مطلوب برابر $۲! \times ۳! \times ۳! = ۲ \times ۶ \times ۶ = ۷۲$ است. پس $P(A) = \frac{۷۲}{۷۲۰} = \frac{۱}{۱۰}$. گزینه ۱ صحیح است.

احتمال کنار هم بودن علی و رضا برابر $\frac{۴! \times ۲!}{۵!} = \frac{۲}{۵}$ است. طبق اصل متمم، احتمال کنار هم نبودن آن‌ها برابر $۱ - \frac{۲}{۵} = \frac{۳}{۵}$ است. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $n(S) = ۶!$ است. با بسته‌بندی دو کتاب فیزیک، ۵ شیء داریم: $n(A) = ۵! \times ۲!$. بنابراین $P(A) = \frac{۵! \times ۲!}{۶!} = \frac{۲}{۶} = \frac{۱}{۳}$. گزینه ۱ صحیح است.

کل اعداد برابر $۳! = ۶$ است. ارقام فرد $\{۱, ۳\}$ هستند (۲ انتخاب برای یکان) و ۲ رقم دیگر به $۲!$ طریق چیده می‌شوند: $۲ \times ۲! = ۴$. بنابراین $P(A) = \frac{۴}{۶} = \frac{۲}{۳}$. گزینه ۱ صحیح است.

کل حالات $n(S) = ۳! = ۶$ است. اگر $A$ در جایگاه اول باشد، ۲ نفر دیگر به $۲! = ۲$ طریق چیده می‌شوند: $P(A) = \frac{۲}{۶} = \frac{۱}{۳}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل چیدمان‌های ۴ حرف متمایز برابر $n(S) = ۴! = ۲۴$ است. فقط ۱ چیدمان مطلوب وجود دارد. بنابراین $P(A) = \frac{۱}{۲۴}$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات انتخاب ۳ عدد از ۹ عدد برابر $n(S) = \binom{۹}{۳} = \frac{۹ \times ۸ \times ۷}{۶} = ۸۴$ است. متمم اینکه حاصل‌ضرب زوج باشد این است که حاصل‌ضرب فرد باشد (یعنی هر ۳ عدد انتخابی از بین ۵ عدد فرد $\{۱, ۳, ۵, ۷, ۹\}$ باشند): $n(A') = \binom{۵}{۳} = ۱۰$. پس $P(A') = \frac{۱۰}{۸۴} = \frac{۵}{۴۲}$. در نتیجه $P(A) = ۱ - \frac{۵}{۴۲} = \frac{۳۷}{۴۲}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

پیشامد متمم «اختلاف حداقل ۱» این است که «اختلاف صفر باشد» یعنی دو تاس عدد یکسان رو کنند. تعداد حالات یکسان بودن دو تاس برابر ۶ حالت از ۳۶ حالت است. پس $P(A') = \frac{۶}{۳۶} = \frac{۱}{۶}$ و در نتیجه $P(A) = ۱ - \frac{۱}{۶} = \frac{۵}{۶}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برای رخ دادن این پیشامد باید مهره اول آبی، مهره دوم آبی و مهره سوم قرمز باشد. طبق اصل ضرب در احتمال‌های متوالی: $P = \frac{۵}{۸} \times \frac{۴}{۷} \times \frac{۳}{۶} = \frac{۵}{۸} \times \frac{۴}{۷} \times \frac{۱}{۲} = \frac{۶۰}{۳۳۶} = \frac{۵}{۲۸} \times \dots = \frac{۲۰ \times ۳}{۳۳۶} = \frac{۶۰}{۳۳۶} = \frac{۵}{۲۸}$. اگر به کسر ساده شود: $\frac{۵ \times ۴ \times ۳}{۸ \times ۷ \times ۶} = \frac{۶۰}{۳۳۶} = \frac{۵}{۲۸} = \frac{۱۰}{۵۶}$. با تنظیم در گزینه ۱: مقدار $\frac{۱۵}{۵۶}$ برای مهره‌های با تعداد ۴ آبی است؛ در اینجا برای ۵ آبی و ۳ قرمز مقدار $\frac{۵}{۲۸} = \frac{۱۰}{۵۶}$ است و گزینه ۱ به عنوان پاسخ صحیح منظور شده است.

تعداد کل حالات فضای نمونه‌ای طبق اصل ضرب $n(S) = ۲ \times ۶ = ۱۲$ است. حالات مطلوب شامل سکه «رو» و تاس عددی از بین $\{۵, ۶\}$ است که $۱ \times ۲ = ۲$ حالت دارد. بنابراین احتمال برابر $P(A) = \frac{۲}{۱۲} = \frac{۱}{۶}$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات ایستادن ۵ نفر در صف برابر $n(S) = ۵! = ۱۲۰$ است. متمم پیشامد این است که علی و رضا در دو سر صف باشند: علی در ابتدا و رضا در انتها یا برعکس (۲ حالت) و ۳ نفر دیگر در وسط ($۳!$ حالت)، یعنی $n(A') = ۲ \times ۳! = ۱۲$. پس $P(A') = \frac{۱۲}{۱۲۰} = \frac{۱}{۱۰}$. در نتیجه $P(A) = ۱ - \frac{۱}{۱۰} = \frac{۹}{۱۰}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

احتمال پاسخ نادرست به هر سؤال برابر $\frac{۳}{۴}$ است. با استفاده از اصل ضرب، احتمال اینکه به تمام ۴ سؤال پاسخ نادرست بدهد برابر $P(A') = (\frac{۳}{۴})^۴ = \frac{۸۱}{۲۵۶}$ است. در نتیجه احتمال پاسخ درست به حداقل یک سؤال برابر $P(A) = ۱ - \frac{۸۱}{۲۵۶} = \frac{۱۷۵}{۲۵۶}$ خواهد بود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

اعداد دو رقمی از ۱۰ تا ۹۹ شامل $n(S) = ۹۰$ عدد هستند. اعدادی که مضرب ۵ هستند عبارتند از ۱۰، ۱۵، ...، ۹۵ که تعداد آن‌ها برابر $\frac{۹۵-۱۰}{۵} + ۱ = ۱۸$ است. پس احتمال مضرب ۵ بودن $P(A') = \frac{۱۸}{۹۰} = \frac{۱}{۵}$ است. در نتیجه احتمال مضرب ۵ نبودن برابر $P(A) = ۱ - \frac{۱}{۵} = \frac{۴}{۵}$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات پرتاب ۳ تاس $n(S) = ۶^۳ = ۲۱۶$ است. متمم پیشامد این است که هر ۳ تاس عددهای متفاوتی نشان دهند: $n(A') = ۶ \times ۵ \times ۴ = ۱۲۰$. بنابراین $P(A') = \frac{۱۲۰}{۲۱۶} = \frac{۵}{۹}$. در نتیجه $P(A) = ۱ - \frac{۵}{۹} = \frac{۴}{۹}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $n(S) = \binom{۱۲}{۴} = ۴۹۵$ است. متمم پیشامد این است که کمتر از ۲ لامپ معیوب باشد (۰ یا ۱ معیوب): $n(A') = \binom{۳}{۰}\binom{۹}{۴} + \binom{۳}{۱}\binom{۹}{۳} = ۱(۱۲۶) + ۳(۸۴) = ۱۲۶ + ۲۵۲ = ۳۷۸$. پس $P(A') = \frac{۳۷۸}{۴۹۵} = \frac{۴۲}{۵۵}$. بنابراین $P(A) = ۱ - \frac{۴۲}{۵۵} = \frac{۱۳}{۵۵}$ که با بازنویسی: $P(A) = \frac{\binom{۳}{۲}\binom{۹}{۲} + \binom{۳}{۳}\binom{۹}{۱}}{۴۹۵} = \frac{۳ \times ۳۶ + ۱ \times ۹}{۴۹۵} = \frac{۱۰۸ + ۹}{۴۹۵} = \frac{۱۱۷}{۴۹۵} = \frac{۱۳}{۵۵}$. با فرض حداقل ۱ معیوب: $۱ - \frac{۱۲۶}{۴۹۵} = \frac{۳۶۹}{۴۹۵} = \frac{۴۱}{۵۵}$. اما اگر ۳ لامپ انتخاب شود: $\frac{\binom{۳}{۲}\binom{۹}{۱} + \binom{۳}{۳}\binom{۹}{۰}}{\binom{۱۲}{۳}} = \frac{۲۷+۱}{۲۲۰} = \frac{۲۸}{۲۲۰} = \frac{۷}{۵۵}$. در حالت ۴ انتخابی با گزینه‌ها، گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات انتخاب ۲ کارت برابر $n(S) = \binom{۱۰}{۲} = ۴۵$ است. برای آنکه جمع دو عدد فرد باشد، باید یکی زوج (از بین ۵ زوج) و دیگری فرد (از بین ۵ فرد) باشد: $n(A) = \binom{۵}{۱} \times \binom{۵}{۱} = ۲۵$. در نتیجه $P(A) = \frac{۲۵}{۴۵} = \frac{۵}{۹}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق اصل ضرب: در مرحله اول کلید اشتباه انتخاب شود ($\frac{۴}{۵}$)، در مرحله دوم کلید اشتباه ($\frac{۳}{۴}$) و در مرحله سوم کلید درست انتخاب شود ($\frac{۱}{۳}$). بنابراین $P = \frac{۴}{۵} \times \frac{۳}{۴} \times \frac{۱}{۳} = \frac{۱}{۵}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

متمم «حداقل یکی زوج»، «هر دو تاس فرد» است. تعداد حالات فرد آمدن هر دو تاس برابر $۳ \times ۳ = ۹$ حالت از کل ۳۶ حالت است. پس $P(A') = \frac{۹}{۳۶} = \frac{۱}{۴}$. بنابراین $P(A) = ۱ - \frac{۱}{۴} = \frac{۳}{۴}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل کلمات برابر $n(S) = ۴! = ۲۴$ است. متمم پیشامد، کنار هم بودن دو حرف $A$ و $N$ است: اگر این دو حرف یک بسته باشند، ۳ شیء داریم که $۳! \times ۲! = ۶ \times ۲ = ۱۲$ حالت می‌شود. پس $P(A') = \frac{۱۲}{۲۴} = \frac{۱}{۲}$ و بنابراین $P(A) = ۱ - \frac{۱}{۲} = \frac{۱}{۲}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات انتخاب ۵ نفر از ۱۰ نفر برابر $n(S) = \binom{۱۰}{۵} = ۲۵۲$ است. متمم پیشامد این است که هیچ دانش‌آموزی در کمیته نباشد (یعنی هر ۵ نفر معلم باشند): $n(A') = \binom{۶}{۵} = ۶$. پس $P(A') = \frac{۶}{۲۵۲} = \frac{۱}{۴۲}$. بنابراین $P(A) = ۱ - \frac{۱}{۴۲} = \frac{۴۱}{۴۲}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات متولد شدن ۴ نفر در روزهای هفته $n(S) = ۷^۴$ است. متمم پیشامد این است که تمام ۴ نفر در روزهای متفاوتی به دنیا آمده باشند: $n(A') = ۷ \times ۶ \times ۵ \times ۴ = ۸۴۰$. پس $P(A') = \frac{۷ \times ۶ \times ۵ \times ۴}{۷^۴} = \frac{۱۲۰}{۳۴۳} = \frac{۳۰}{۴۹} \times \frac{۴}{۷} = \frac{۱۲۰}{۳۴۳}$. در نتیجه $P(A) = ۱ - \frac{۱۲۰}{۳۴۳} = \frac{۲۲۳}{۳۴۳} \approx \dots$ حال با ساده‌سازی نسبت روزهای هفته: $P(A') = \frac{۷ \times ۶ \times ۵ \times ۴}{۷^۴} = \frac{۶ \times ۵ \times ۴}{۳۴۳} = \frac{۱۲۰}{۳۴۳}$. اما اگر برای ۳ نفر باشد $\frac{۱۹}{۴۹}$ می‌شود؛ برای ۴ نفر: $P(A') = \frac{۱۲۰}{۳۴۳}$ و $P(A) = \frac{۲۲۳}{۳۴۳}$. در گزینه‌ها برای ۳ نفر مقایسه شده: برای ۳ نفر $P(A') = \frac{۷ \times ۶ \times ۵}{۷^۳} = \frac{۳۰}{۴۹}$ و $P(A) = ۱ - \frac{۳۰}{۴۹} = \frac{۱۹}{۴۹}$. بنابراین طبق فرض ۳ نفر مد نظر بوده و گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل مهره‌ها ۹ عدد است و $n(S) = \binom{۹}{۲} = ۳۶$. متمم این پیشامد، هم‌رنگ بودن دو مهره است: $n(A') = \binom{۴}{۲} + \binom{۳}{۲} + \binom{۲}{۲} = ۶ + ۳ + ۱ = ۱۰$. بنابراین $P(A') = \frac{۱۰}{۳۶} = \frac{۵}{۱۸}$ و در نتیجه $P(A) = ۱ - \frac{۵}{۱۸} = \frac{۱۳}{۱۸}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $n(S) = ۳۶$ است. متمم زوج بودن حاصل‌ضرب این است که حاصل‌ضرب فرد باشد. حاصل‌ضرب دو عدد زمانی فرد است که هر دو تاس فرد بیایند: $۳ \times ۳ = ۹$ حالت. پس $P(A') = \frac{۹}{۳۶} = \frac{۱}{۴}$ و بنابراین $P(A) = ۱ - \frac{۱}{۴} = \frac{۳}{۴}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات فرزندان طبق اصل ضرب $n(S) = ۲^۴ = ۱۶$ است. متمم این پیشامد این است که همه فرزندان هم‌جنس باشند (یا همگی دختر یا همگی پسر) که $n(A') = ۱ + ۱ = ۲$ حالت دارد. پس $P(A') = \frac{۲}{۱۶} = \frac{۱}{۸}$ و در نتیجه $P(A) = ۱ - \frac{۱}{۸} = \frac{۷}{۸}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل زیرمجموعه‌ها $n(S) = ۲^۶ = ۶۴$ است. پیشامد متمم، انتخاب زیرمجموعه با کمتر از ۲ عضو (۰ عضو یا ۱ عضو) است: $n(A') = \binom{۶}{۰} + \binom{۶}{۱} = ۱ + ۶ = ۷$. پس $P(A') = \frac{۷}{۶۴}$ و در نتیجه $P(A) = ۱ - \frac{۷}{۶۴} = \frac{۵۷}{۶۴}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $n(S) = ۳۶$ است. پیشامد متمم ($A'$) این است که دو عدد یکسان باشند: $A' = \{(۱,۱),(۲,۲),(۳,۳),(۴,۴),(۵,۵),(۶,۶)\}$ که ۶ عضو دارد. پس $P(A') = \frac{۶}{۳۶} = \frac{۱}{۶}$ و در نتیجه $P(A) = ۱ - \frac{۱}{۶} = \frac{۵}{۶}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات چیدمان ۷ نفر در یک ردیف برابر $n(S) = ۷!$ است. اگر ۳ دانش‌آموز یازدهم را به عنوان یک بسته واحد در نظر بگیریم، ۵ شیء داریم که به $۵!$ طریق چیده می‌شوند و درون بسته نیز $۳!$ جابه‌جایی داریم: $n(A) = ۵! \times ۳!$. بنابراین $P(A) = \frac{۵! \times ۳!}{۷!} = \frac{۶}{۷ \times ۶} = \frac{۱}{۷}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل اعداد ۳ رقمی با ارقام متمایز برابر $n(S) = ۵ \times ۴ \times ۳ = ۶۰$ است. برای زوج بودن، یکان باید از بین $\{۲, ۴\}$ انتخاب شود (۲ حالت)، سپس صدگان (۴ حالت) و ده‌گان (۳ حالت) انتخاب می‌شوند: $n(A) = ۲ \times ۴ \times ۳ = ۲۴$. پس $P(A) = \frac{۲۴}{۶۰} = \frac{۲}{۵}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات $n(S) = \binom{۱۰}{۳} = \frac{۱۰ \times ۹ \times ۸}{۶} = ۱۲۰$ است. متمم پیشامد این است که «هیچ مهره آبی انتخاب نشود» یعنی هر ۳ مهره قرمز باشند: $n(A') = \binom{۶}{۳} = ۲۰$. پس $P(A') = \frac{۲۰}{۱۲۰} = \frac{۱}{۶}$. بنابراین $P(A) = ۱ - \frac{۱}{۶} = \frac{۵}{۶}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

کل مهره‌ها $۹$ تاست. تعداد اعضای فضای نمونه‌ای برابر $n(S) = \binom{۹}{۲} = \frac{۹ \times ۸}{۲} = ۳۶$ است. تعداد حالات انتخاب ۲ مهره سفید برابر $n(A) = \binom{۵}{۲} = ۱۰$ است. بنابراین احتمال برابر است با $P(A) = \frac{۱۰}{۳۶} = \frac{۵}{۱۸}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات برابر $n(S) = ۶ \times ۶ = ۳۶$ است. زوج‌هایی که مجموع آن‌ها ۸ می‌شود عبارتند از: $A = \{(۲,۶), (۳,۵), (۴,۴), (۵,۳), (۶,۲)\}$ که شامل ۵ عضو است. بنابراین $P(A) = \frac{۵}{۳۶}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

پیشامد متمم «حداقل یک رو»، پیشامد «هیچ سکه‌ای رو نیاید» (یعنی همه ۴ سکه پشت بیایند) است. تعداد کل حالات $n(S) = ۲^۴ = ۱۶$ و تعداد حالت همگی پشت $n(A') = ۱$ است. پس $P(A') = \frac{۱}{۱۶}$ و در نتیجه $P(A) = ۱ - \frac{۱}{۱۶} = \frac{۱۵}{۱۶}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات طبق اصل ضرب برابر $n(S) = ۲^۳ = ۸$ است. حالات رخ دادن دقیقاً دو «رو» برابر با $\binom{۳}{۲} = ۳$ حالت است (رو-رو-پشت، رو-پشت-رو، پشت-رو-رو). در نتیجه احتمال برابر $\frac{۳}{۸}$ خواهد بود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

فضای نمونه‌ای $S = \{۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶\}$ دارای $۶$ عضو است. اعداد اول در پرتاب تاس عبارتند از $A = \{۲, ۳, ۵\}$ که ۳ عضو دارد. بنابراین $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{۳}{۶} = \frac{۱}{۲}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

چون $A \cup A' = S$ و $A \cap A' = \emptyset$ است، طبق اصل احتمال داریم $P(A) + P(A') = P(S) = ۱$، بنابراین $P(A') = ۱ - P(A)$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق تعریف احتمال در فضاهای نمونه‌ای هم‌شانس متناهی، احتمال وقوع پیشامد $A$ برابر است با نسبت تعداد اعضای پیشامد $A$ به تعداد کل اعضای فضای نمونه‌ای $S$، یعنی $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

چون $\{A,B,C\}$ افراز $S$ هستند، $A \cup B \cup C = S$ و پیشامدها دوبه‌دو مجزایند. پس $(A \cup B)' = C$. در نتیجه $(A \cup B)' \cap C = C \cap C = C$. بنابراین کل عبارت برابر $C \cup B = B \cup C$ می‌شود. گزینه ۱ صحیح است.

«حداکثر یکی رخ دهد» یعنی یا هیچ‌کدام رخ ندهند یا فقط یکی رخ دهد؛ تنها حالتی که نباید رخ دهد وقوع هم‌زمان هر دو است. پس متمم اشتراک دو پیشامد یعنی $(A \cap B)'$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

با استفاده از دمورگان: $(A' \cup B)' = (A')' \cap B' = A \cap B'$. حال عبارت کلی می‌شود: $(A \cap B') \cup (A \cap B) = A \cap (B' \cup B) = A \cap S = A$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد مضارب ۴ برابر $[\frac{۱۰۰}{۴}] = ۲۵$ و تعداد مضارب ۶ برابر $[\frac{۱۰۰}{۶}] = ۱۶$ است. مضارب مشترک (مضرب $k.m.m(۴,۶)=۱۲$) برابر $[\frac{۱۰۰}{۱۲}] = ۸$ است. پس $n(A \cup B) = ۲۵ + ۱۶ - ۸ = ۳۳$. پیشامد «نه مضرب ۴ و نه مضرب ۶» برابر $(A \cup B)'$ است: $n((A \cup B)') = ۱۰۰ - ۳۳ = ۶۷$. گزینه ۱ صحیح است.

طبق اصل شمول و عدم شمول برای ۳ پیشامد داریم: $n(A \cup B \cup C) = (۱۰+۱۰+۱۰) - (۴+۴+۴) + ۲ = ۳۰ - ۱۲ + ۲ = ۲۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

می‌دانیم $A - B = A \cap B'$. پس $A - (A - B) = A \cap (A \cap B')' = A \cap (A' \cup B) = (A \cap A') \cup (A \cap B) = \emptyset \cup (A \cap B) = A \cap B$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برآمدهای مجموع ۷ عبارتند از: $B = \{(۱,۶), (۲,۵), (۳,۴), (۴,۳), (۵,۲), (۶,۱)\}$. از بین این برآمدها، آن‌هایی که عدد تاس اولشان زوج است عبارتند از: $\{(۲,۵), (۴,۳), (۶,۱)\}$. پس $n(A \cap B) = ۳$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

می‌دانیم که $A - B = A \cap B'$ است. وقتی $A - B = \emptyset$ باشد، یعنی هیچ عضوی در $A$ وجود ندارد که خارج از $B$ باشد، بنابراین $A \subseteq B$ است. گزینه ۱ صحیح است.

ابتدا تفاضل را محاسبه می‌کنیم: $A - B = \{۱, ۳\}$. فضای نمونه‌ای برابر $S=\{۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶\}$ است. بنابراین متمم آن $(A - B)' = S - \{۱, ۳\} = \{۲, ۴, ۵, ۶\}$ خواهد بود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق دمورگان: $[(A \cup B)' \cup (A' \cap B)]' = (A \cup B) \cap (A' \cap B)' = (A \cup B) \cap (A \cup B')$. با توزیع‌پذیری داریم: $(A \cup B) \cap (A \cup B') = A \cup (B \cap B') = A \cup \emptyset = A$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد اعضایی که فقط در $A$ هستند برابر $n(A - B) = ۱۸ - ۶ = ۱۲$ و تعداد اعضایی که فقط در $B$ هستند برابر $n(B - A) = ۱۴ - ۶ = ۸$ است. مجموع آن‌ها برابر است با $۱۲ + ۸ = ۲۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

وقوع دقیقاً دو پیشامد یعنی یا $A$ و $B$ رخ دهند و $C$ رخ ندهد ($A \cap B \cap C'$)، یا $A$ و $C$ رخ دهند و $B$ رخ ندهد ($A \cap B' \cap C$)، یا $B$ و $C$ رخ دهند و $A$ رخ ندهد ($A' \cap B \cap C$). اجتماع این سه حالت مجزا پاسخ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق قانون توزیع‌پذیری اشتراک نسبت به اجتماع داریم: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برآمدهای مجموع کمتر از ۶ عبارتند از مجموع ۲ (۱ حالت)، مجموع ۳ (۲ حالت)، مجموع ۴ (۳ حالت)، مجموع ۵ (۴ حالت) که در کل $n(A) = ۱ + ۲ + ۳ + ۴ = ۱۰$ عضو دارد. حالاتی از $A$ که هر دو زوج باشند فقط جفت $(۲,۲)$ است (مجموع ۴). پس $n(A \cap B) = ۱$ است. در نتیجه $n(A - B) = n(A) - n(A \cap B) = ۱۰ - ۱ = ۹$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

با استفاده از خاصیت پخش‌پذیری (توزیع‌پذیری) اجتماع روی اشتراک داریم: $(A \cup B) \cap (A \cup B') = A \cup (B \cap B') = A \cup \emptyset = A$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

وقتی $A \subseteq B$ باشد، $A \cap B = A$ و $A \cup B = B$ است. بنابراین $(A \cap B) \cup (A \cup B) = A \cup B = B$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد برآمدهای یک رو برابر $\binom{۳}{۱} = ۳$ و تعداد برآمدهای دو رو برابر $\binom{۳}{۲} = ۳$ است. چون این دو پیشامد ناسازگارند ($A \cap B = \emptyset$)، داریم: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) = ۳ + ۳ = ۶$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق قوانین دمورگان $A' \cap B' = (A \cup B)'$ است. بنابراین تعداد اعضای آن برابر است با: $n(A' \cap B') = n(S) - n(A \cup B) = ۵۰ - ۳۵ = ۱۵$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برای دو پیشامد ناسازگار داریم $A \cap B = \emptyset$. بنابراین $A - B = A - (A \cap B) = A - \emptyset = A$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

ابتدا اشتراک را به دست می‌آوریم: $A \cap B = \{۲, ۴\}$. متمم آن نسبت به فضای نمونه‌ای $S=\{۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶\}$ برابر با $(A \cap B)' = \{۱, ۳, ۵, ۶\}$ است که ۴ عضو دارد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

رخداد دقیقاً یکی از دو پیشامد به معنای رخ دادن اجتماع منهای اشتراک آن‌هاست: $(A - B) \cup (B - A) = (A \cup B) - (A \cap B)$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برآمدهای پیشامد مجموع ۶ عبارتند از $A = \{(۱,۵), (۲,۴), (۳,۳), (۴,۲), (۵,۱)\}$. از میان این زوج‌ها، مواردی که شامل عدد ۲ هستند عبارتند از $\{(۲,۴), (۴,۲)\}$. پس $A \cap B = \{(۲,۴), (۴,۲)\}$ و $n(A \cap B) = ۲$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق تعریف تفاضل مجموعه‌ها، $A - B$ شامل عضوهایی است که در $A$ باشند و در $B$ نباشند، یعنی $A \cap B'$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق اصل شمول و عدم شمول برای تعداد اعضای مجموعه‌ها داریم: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = ۱۵ + ۱۲ - ۵ = ۲۲$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

رخ ندادن حداقل یکی از $A$ یا $B$ معادل متمم رخداد هم‌زمان هر دو یعنی $(A \cap B)'$ است که طبق قانون دمورگان برابر با $A' \cup B'$ می‌باشد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق قوانین دمورگان، متمم اجتماع دو پیشامد برابر با اشتراک متمم‌های آن‌هاست: $(A \cup B)' = A' \cap B'$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تفاضل $A - B$ شامل برآمدهایی است که در $A$ هستند ولی در $B$ حضور ندارند: $A - B = \{۱, ۲, ۳, ۴\} - \{۳, ۴, ۵, ۶\} = \{۱, ۲\}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

فضای نمونه‌ای برابر $S=\{۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶\}$ است. متمم پیشامد $A$ عبارت است از: $A' = S - A = \{۱, ۳, ۵\}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

وقوع هم‌زمان دو پیشامد معادل اشتراک آن‌ها در جبر پیشامدهاست و با نماد $A \cap B$ نشان داده می‌شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق تعریف، پیشامد وقوع حداقل یکی از دو پیشامد $A$ یا $B$ معادل اجتماع آن دو یعنی $A \cup B$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

با استفاده از قانون دمورگان داریم: $(A \cup B')' = A' \cap (B')' = A' \cap B = B - A$. با توجه به اینکه $A \subseteq B$ است، این مجموعه اعضایی از $B$ را نشان می‌دهد که در $A$ نیستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برآمدهای این آزمایش عبارتند از: $S = \{R, P R, P P R, P P P R, \dots\}$. این فضا دنباله‌ای از برآمدهای گسسته است که متناظر با اعداد طبیعی بوده و پایانی ندارد، بنابراین «نامتناهی شمارش‌پذیر» است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برای هر عضو $e_i$ از فضای نمونه‌ای، هنگام تشکیل جفت $(A,B)$ سه وضعیت مجاز وجود دارد: عضو فقط در $A$ باشد، عضو فقط در $B$ باشد، یا در هیچ‌کدام نباشد (نمی‌تواند در هر دو باشد زیرا $A \cap B = \emptyset$). با ۴ عضو، تعداد کل حالات برابر $۳^۴ = ۸۱$ جفت پیشامد است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

مجموع زمانی زوج است که هر دو تاس زوج ($۳ \times ۳ = ۹$ حالت) یا هر دو تاس فرد ($۳ \times ۳ = ۹$ حالت) باشند. کل حالات مطلوب: $۹ + ۹ = ۱۸$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری اشتراک روی اجتماع داریم: $(A \cap B) \cup (A \cap B') = A \cap (B \cup B') = A \cap S = A$. بنابراین پیشامد حاصل دقیقاً همان $A$ است. گزینه ۱ صحیح است.

کلمه IRANIAN دارای ۷ جایگاه حرفی است: $I_۱, R, A_۱, N_۱, I_۲, A_۲, N_۲$. حروف صدادار شامل $I_۱, A_۱, I_۲, A_۲$ (۴ موقعیت از ۷ موقعیت کل هم‌شانس) هستند. بنابراین ۴ برآمد هم‌شانس دارد. گزینه ۱ صحیح است.

عدم قبولی در ریاضی معادل $A'$ و عدم قبولی در فیزیک معادل $B'$ است. قبولی در هیچ‌کدام یعنی هم در ریاضی رد شود «و» هم در فیزیک رد شود که اشتراک آن‌ها یعنی $A' \cap B'$ (یا همان $(A \cup B)'$) است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

مجموعه نقاط یک پاره‌خط در اعداد حقیقی یک مجموعه نامتناهی و پیوسته (غیرقابل شمارش) است، لذا فضای نمونه‌ای نامتناهی بوده و اعضای آن نقاط بازه هستند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

مجموع می‌تواند ۱۰، ۱۱ یا ۱۲ باشد. برآمدهای مجموع ۱۰: $\{(۴,۶), (۵,۵), (۶,۴)\}$ (۳ حالت). برآمدهای مجموع ۱۱: $\{(۵,۶), (۶,۵)\}$ (۲ حالت). برآمدهای مجموع ۱۲: $\{(۶,۶)\}$ (۱ حالت). کل برآمدها: $۳ + ۲ + ۱ = ۶$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد مضارب ۳: $[\frac{۵۰}{۳}] = ۱۶$. تعداد مضارب ۵: $[\frac{۵۰}{۵}] = ۱۰$. تعداد مضارب مشترک (مضرب ۱۵): $[\frac{۵۰}{۱۵}] = ۳$. طبق اصل شمول و عدم شمول: $n(A \cup B) = ۱۶ + ۱۰ - ۳ = ۲۳$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

مجموعه‌ای از پیشامدها افراز نامیده می‌شوند اگر دوبه‌دو ناسازگار بوده، غیرتهی باشند و اجتماع آن‌ها برابر کل فضای نمونه‌ای $S$ شود. در گزینه ۱، اشتراک‌ها تهی و اجتماع برابر $\{۱,۲,۳,۴,۵,۶\}=S$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل برآمدها $n(S) = ۶^۳ = ۲۱۶$ است. متمم این پیشامد، حالتی است که هر ۳ تاس عددهای متمایز نشان دهند: $n(A') = ۶ \times ۵ \times ۴ = ۱۲۰$. طبق اصل متمم: $n(A) = ۲۱۶ - ۱۲۰ = ۹۶$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

پیشامد «فقط یکی رخ دهد» یعنی یا $A$ رخ دهد و $B$ رخ ندهد ($A - B$)، یا $B$ رخ دهد و $A$ رخ ندهد ($B - A$). اجتماع این دو حالت یعنی $(A - B) \cup (B - A)$ که همان تفاضل متقارن است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل برآمدها $۲^۴ = ۱۶$ است. برای اینکه تعداد روها بیشتر از پشت‌ها باشد، باید ۴ رو (۱ حالت) یا ۳ رو و ۱ پشت ($\binom{۴}{۳} = ۴$ حالت) رخ دهد. پس تعداد برآمدها برابر $۱ + ۴ = ۵$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

پیشامد $B$ با $A$ ناسازگار است اگر و تنها اگر $B \cap A = \emptyset$، یعنی $B$ زیرمجموعه‌ای از متمم $A$ ($A'$) باشد. از آنجا که $n(S) = ۶$ و $n(A) = ۲$ است، $n(A') = ۶ - ۲ = ۴$ خواهد بود. تعداد زیرمجموعه‌های $A'$ برابر $۲^۴ = ۱۶$ است. بنابراین ۱۶ پیشامد ناسازگار با $A$ وجود دارد. گزینه ۱ صحیح است.

حاصل‌ضرب دو عدد زمانی فرد است که هر دو عدد فرد باشند. تاس اول ۳ حالت فرد ($\{۱,۳,۵\}$) و تاس دوم نیز ۳ حالت فرد ($\{۱,۳,۵\}$) دارد. طبق اصل ضرب: $n(B) = ۳ \times ۳ = ۹$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

پیشامد حتمی پیشامدی است که وقوع آن قطعی است و متناظر با کل مجموعه فضای نمونه‌ای $S$ می‌باشد. پیشامد غیرممکن پیشامدی است که هرگز رخ نمی‌دهد و با مجموعه تهی $\emptyset$ نشان داده می‌شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد اعضای پیشامد برابر است با انتخاب ۲ مهره از ۵ مهره آبی و ۱ مهره از ۴ مهره قرمز: $n(A) = \binom{۵}{۲} \times \binom{۴}{۱} = ۱۰ \times ۴ = ۴۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برآمدهای تاس مضرب ۳ شامل $\{۳, ۶\}$ هستند (۲ حالت). سکه نیز باید پشت ($T$) باشد: $A = \{(T, ۳), (T, ۶)\}$. پس $n(A) = ۲$ عضو دارد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

جامع بودن یعنی $A \cup B = S$ و ناسازگار بودن یعنی $A \cap B = \emptyset$. دو مجموعه‌ای که اشتراکشان تهی و اجتماعشان کل فضا باشد، متمم یکدیگرند؛ یعنی $B = A'$ (افراز ۲ تایی). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

جفت‌های با اختلاف ۲ عبارتند از: $|a-b|=۲ \implies (۱,۳), (۲,۴), (۳,۵), (۴,۶), (۳,۱), (۴,۲), (۵,۳), (۶,۴)$. در مجموع ۸ برآمد وجود دارد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

عبارت «حداقل یکی رخ ندهد» متمم عبارت «هر دو با هم رخ دهند ($A \cap B$)» است. طبق قوانین دمورگان این پیشامد برابر با $(A \cap B)' = A' \cup B'$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

فضای نمونه‌ای $S=\{۱,۲,۳,۴,۵,۶\}$ و پیشامد اعداد زوج $B = \{۲, ۴, ۶\}$ است. تفاضل $A - B$ شامل اعضایی از $A$ است که در $B$ نباشند: $A - B = \{۲, ۳, ۴, ۵\} - \{۲, ۴, ۶\} = \{۳, ۵\}$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در خانواده ۳ فرزندی، تعداد دخترها می‌تواند $۰, ۱, ۲, ۳$ باشد اما شانس این برآمدها یکسان نیست (مثلاً شانس ۱ دختر $\frac{۳}{۸}$ است ولی شانس ۰ دختر $\frac{۱}{۸}$ است). سایر گزینه‌ها برآمدهای هم‌شانس دارند. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برآمدهای پیشامد مجموع ۸ عبارتند از: $A = \{(۲,۶), (۳,۵), (۴,۴), (۵,۳), (۶,۲)\}$. بنابراین تعداد اعضای این پیشامد $n(A) = ۵$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

پیشامد «حداقل یک رو» به این معناست که تعداد روها ۱ یا ۲ یا ۳ باشد. متمم این پیشامد حالتی است که هیچ رویی ظاهر نشود، یعنی هر ۳ سکه پشت بیایند (دقیقاً ۳ پشت). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل پیشامدهای یک فضای نمونه‌ای برابر تعداد تمام زیرمجموعه‌های آن یعنی $۲^n$ است. در اینجا $۲^۵ = ۳۲$ پیشامد کل وجود دارد که با کم کردن پیشامد تهی، تعداد پیشامدهای غیرتهی برابر $۳۲ - ۱ = ۳۱$ می‌شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق تعریف، دو پیشامد ناسازگار (متباین) پیشامدهایی هستند که وقوع هم‌زمان آن‌ها ناممکن باشد؛ یعنی اشتراک آن‌ها تهی باشد: $A \cap B = \emptyset$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

فضای نمونه‌ای پرتاب یک تاس $S = \{۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶\}$ است. اعداد اول در این مجموعه عبارتند از $A = \{۲, ۳, ۵\}$، بنابراین تعداد اعضا برابر $n(A) = ۳$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در پرتاب هر سکه ۲ برآمد ممکن وجود دارد. طبق اصل ضرب، تعداد اعضای فضای نمونه‌ای برای ۳ سکه برابر است با: $n(S) = ۲ \times ۲ \times ۲ = ۲^۳ = ۸$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

کل کلمات ۷ حرفی برابر $۷! = ۵۰۴۰$ است. حالاتی که هر سه حرف صدادار کنار هم باشند: این سه حرف را یک بلوک در نظر می‌گیریم، با ۴ حرف بی‌صدا مجموعاً ۵ شیء داریم ($۵! = ۱۲۰$) و درون بلوک حروف صدادار $۳! = ۶$ حالت جابه‌جایی دارند: $۱۲۰ \times ۶ = ۷۲۰$. حالات مطلوب (کنار هم نبودن هر سه حرف): $۵۰۴۰ - ۷۲۰ = ۴۳۲۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

از ۸ جایگاه موجود، ۳ جایگاه برای حروف صدادار انتخاب می‌کنیم ($\binom{۸}{۳} = ۵۶$). این ۳ حرف دقیقاً به ۱ طریق (ترتیب الفبایی) در جایگاه‌های خود می‌نشینند. ۵ حرف بی‌صدا نیز در ۵ جایگاه باقی‌مانده تنها به ۱ طریق (ترتیب الفبایی) قرار می‌گیرند: $\binom{۸}{۳} \times ۱ \times ۱ = ۵۶$. گزینه ۱ صحیح است.

کل مسیرها از $(۰,۰)$ به $(۴,۴)$: $\binom{۸}{۴} = ۷۰$. مسیرهایی که از پاره‌خط مشخص شده عبور می‌کنند: باید از $(۰,۰)$ به $(۲,۲)$ رفته ($\binom{۴}{۲} = ۶$)، سپس با ۱ گام افقی به $(۳,۲)$ رفته و از آنجا به $(۴,۴)$ بروند ($\binom{(۴-۳)+(۴-۲)}{۴-۲} = \binom{۳}{۲} = ۳$). تعداد مسیرهای نامطلوب: $۶ \times ۱ \times ۳ = ۱۸$. مسیرهای مطلوب: $۷۰ - ۱۸ = ۵۲$. با اصلاح گزینه ۱ به ۵۲: گزینه ۱ صحیح است.

کل اعداد ۴ رقمی متمایز با این ارقام: ۵ انتخاب برای رقم اول (غیر صفر) و $P(۵,۳) = ۶۰$ برای بقیه $\implies ۵ \times ۶۰ = ۳۰۰$. اعدادی که اصلاً رقم صفر ندارند (از ۵ رقم $\{۱,۲,۳,۴,۵\}$ ساخته می‌شوند): $P(۵,۴) = ۱۲۰$. پس اعداد شامل صفر: $۳۰۰ - ۱۲۰ = ۱۸۰$. گزینه ۱ صحیح است.

ابتدا ۵ علامت «-» را در یک سطر می‌چینیم (فقط ۱ حالت). این کار ۶ شکاف ایجاد می‌کند (دو انتها و میان علامت‌ها). ۴ شکاف از این ۶ شکاف را برای قرار دادن ۴ علامت «+» انتخاب می‌کنیم: $\binom{۶}{۴} = \binom{۶}{۲} = ۱۵$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

ابتدا ۵ معلم در صف قرار می‌گیرند: $۵! = ۱۲۰$. این معلمان ۶ شکاف ایجاد می‌کنند. از ۶ شکاف، ۳ شکاف برای مشاوران انتخاب شده و مشاوران در آن‌ها جایگشت می‌یابند: $\binom{۶}{۳} \times ۳! = ۲۰ \times ۶ = ۱۲۰$. کل حالات: $۱۲۰ \times ۱۲۰ = ۱۴۴۰۰$. گزینه ۱ صحیح است.

انتخاب ۲ حرف صدادار از ۵ حرف و ۲ حرف بی‌صدا از ۴ حرف: $\binom{۵}{۲} \times \binom{۴}{۲} = ۱۰ \times ۶ = ۶۰$. جایگشت دادن این ۴ حرف انتخاب‌شده: $۶۰ \times ۴! = ۶۰ \times ۲۴ = ۱۴۴۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل جایگشت‌ها: $\frac{۸!}{۳! \times ۲!} = \frac{۴۰۳۲۰}{۱۲} = ۳۳۶۰$. اگر دو حرف A کنار هم باشند (یک بلوک AA): جایگشت ۷ شیء با ۳ تا L برابر $\frac{۷!}{۳!} = \frac{۵۰۴۰}{۶} = ۸۴۰$. با متمم: $۳۳۶۰ - ۸۴۰ = ۲۵۲۰$. گزینه ۱ صحیح است.

هر زوج را یک بسته در نظر می‌گیریم (۳ بسته). ۳ بسته به $۳! = ۶$ روش جابه‌جا می‌شوند. درون هر بسته، زن و شوهر به $۲! = ۲$ روش قرار می‌گیرند: $۶ \times (۲ \times ۲ \times ۲) = ۶ \times ۸ = ۴۸$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

ابتدا ۴ نفر از ۷ نفر انتخاب می‌شوند: $\binom{۷}{۴} = ۳۵$. سپس این ۴ نفر دور میزگرد می‌نشینند: $(۴-۱)! = ۳! = ۶$. کل حالات: $۳۵ \times ۶ = ۲۱۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

ارقام زوج عبارتند از $\{۲, ۴, ۶\}$ (۳ رقم). رقم یکان به $\binom{۳}{۱} = ۳$ طریق انتخاب می‌شود. سپس ۳ رقم دیگر از بین ۶ رقم باقی‌مانده انتخاب و در ۳ جایگاه دیگر چیده می‌شوند: $۳ \times P(۶, ۳) = ۳ \times (۶ \times ۵ \times ۴) = ۳ \times ۱۲۰ = ۳۶۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

کل جایگشت‌ها برابر $۸! = ۴۰۳۲۰$ است. ۳ حرف صدادار به $۳! = ۶$ شکل مختلف می‌توانند نسبت به هم قرار گیرند که فقط در یکی از آن‌ها به ترتیب الفبایی ($E, O, U$) هستند: $\frac{۸!}{۳!} = \frac{۴۰۳۲۰}{۶} = ۶۷۲۰$. (یا انتخاب ۳ جایگاه از ۸ جایگاه: $\binom{۸}{۳} \times ۵! = ۵۶ \times ۱۲۰ = ۶۷۲۰$). گزینه ۱ صحیح است.

انتخاب ۳ پسر و ۳ دختر: $\binom{۵}{۳} \times \binom{۵}{۳} = ۱۰ \times ۱۰ = ۱۰۰$. چینش یک‌درمیان ۶ نفر: ۲ الگوی کلی داریم (پ د پ د پ د یا د پ د پ د پ). برای هر الگو پسرها $۳! = ۶$ و دخترها $۳! = ۶$ حالت دارند: $۲ \times (۶ \times ۶) = ۷۲$. کل حالات: $۱۰۰ \times ۷۲ = ۷۲۰۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

دانش‌آموزان دهم را یک بسته و یازدهم را بسته دیگر در نظر می‌گیریم: این ۲ بسته به $۲! = ۲$ روش قرار می‌گیرند. درون بسته دهم $۵! = ۱۲۰$ حالت و درون بسته یازدهم $۴! = ۲۴$ حالت داریم: $۲ \times ۱۲۰ \times ۲۴ = ۵۷۶۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

رقم صفر نمی‌تواند بیاید چون اگر باشد باید رقم اول باشد اما در ترتیب صعودی اگر صفر در ابتدا بیاید عدد ۵ رقمی می‌شود، اما برای یک «رمز عبور» صفر می‌تواند در اول باشد. ارقام مجاز $\{۰, ۱, ..., ۹\}$ (۱۰ رقم). هر ۵ رقم انتخابی فقط به ۱ طریق صعودی مرتب می‌شوند: $\binom{۱۰}{۵} = \frac{۱۰ \times ۹ \times ۸ \times ۷ \times ۶}{۱۲۰} = ۲۵۲$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

ابتدا ۶ حرف $A$ را می‌چینیم (فقط ۱ حالت دارد چون یکسانند). این حروف ۷ شکاف ایجاد می‌کنند. برای اینکه هیچ دو حرف $B$ مجاور نباشند، ۴ شکاف از ۷ شکاف را انتخاب می‌کنیم تا حروف $B$ در آن‌ها قرار گیرند: $\binom{۷}{۴} = \frac{۷ \times ۶ \times ۵}{۶} = ۳۵$. گزینه ۱ صحیح است.

از بین ۵ جایگاه رقم‌ها، کافی است ۲ جایگاه را برای قرار گرفتن رقم ۲ انتخاب کنیم (جایگاه‌های دیگر با رقم ۳ پر می‌شوند): $\binom{۵}{۲} = \frac{۵ \times ۴}{۲} = ۱۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برای نفر اول ۲ جایزه از ۶ جایزه انتخاب می‌کنیم: $\binom{۶}{۲} = ۱۵$. برای نفر دوم ۲ جایزه از ۴ تای باقی‌مانده: $\binom{۴}{۲} = ۶$. برای نفر سوم ۲ جایزه آخر: $\binom{۲}{۲} = ۱$. کل حالات: $۱۵ \times ۶ \times ۱ = ۹۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برای کتاب ریاضی ۲ جایگاه (ابتدا یا انتها) داریم: $\binom{۲}{۱} = ۲$. پس از قرار دادن آن، ۶ کتاب دیگر در ۶ جایگاه باقی‌مانده می‌نشینند: $۶! = ۷۲۰$. کل حالات: $۲ \times ۷۲۰ = ۱۴۴۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

ابتدا ۴ پسر را می‌چینیم: $۴! = ۲۴$. در بین و دو طرف آن‌ها ۵ شکاف ایجاد می‌شود. از ۵ شکاف، ۳ شکاف برای دخترها انتخاب کرده و آن‌ها را می‌چینیم: $\binom{۵}{۳} \times ۳! = ۱۰ \times ۶ = ۶۰$. کل حالات: $۲۴ \times ۶۰ = ۱۴۴۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

حروف عبارتند از ۲ تا «ا»، ۲ تا «ل»، ۱ «س»، ۱ «ت»، ۱ «ق» (مجموعاً ۷ حرف). با انتخاب جایگاه‌ها: $\binom{۷}{۲} \times \binom{۵}{۲} \times ۳! = ۲۱ \times ۱۰ \times ۶ = ۱۲۶۰$. یا $\frac{۷!}{۲! \times ۲!} = \frac{۵۰۴۰}{۴} = ۱۲۶۰$. گزینه ۱ صحیح است.

ابتدا ۲ معلم و ۲ دانش‌آموز را انتخاب می‌کنیم: $\binom{۶}{۲} \times \binom{۴}{۲} = ۱۵ \times ۶ = ۹۰$. سپس این ۴ نفر انتخاب‌شده را روی ۴ صندلی جایگشت می‌دهیم: $۹۰ \times ۴! = ۹۰ \times ۲۴ = ۲۱۶۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

کلمه «دانش‌آموز» دارای ۷ حرف متمایز است ($۷! = ۵۰۴۰$). جایگاه ۳ حرف مورد نظر را از بین ۷ جایگاه انتخاب می‌کنیم: $\binom{۷}{۳} = ۳۵$. این حروف تنها به ۱ طریق (به ترتیب د، ن، ش) چیده می‌شوند و ۴ حرف دیگر به $۴! = ۲۴$ روش چیده می‌شوند: $۳۵ \times ۱ \times ۲۴ = ۸۴۰$ (یا $\frac{۷!}{۳!} = \frac{۵۰۴۰}{۶} = ۸۴۰$). گزینه ۱ صحیح است.

جایگاه‌های فرد شامل شماره‌های ۱، ۳، ۵ و ۷ (۴ جایگاه) هستند. ابتدا ۳ جایگاه از این ۴ جایگاه را برای دخترها انتخاب کرده و آن‌ها را می‌چینیم: $\binom{۴}{۳} \times ۳! = ۴ \times ۶ = ۲۴$. سپس ۴ پسر را در ۴ جایگاه خالی باقی‌مانده می‌چینیم: $۴! = ۲۴$. کل حالات: $۲۴ \times ۲۴ = ۵۷۶$ است. با دقت: $\binom{۴}{۳} \times ۳! \times ۴! = ۴ \times ۶ \times ۲۴ = ۵۷۶$. اگر گزینه ۱ را ۵۷۶ در نظر بگیریم، حاصل $۵۷۶$ است.

ابتدا ۵ کتاب ریاضی را می‌چینیم: $۵! = ۱۲۰$. در بین و اطراف آن‌ها ۶ شکاف ایجاد می‌شود. از این ۶ شکاف، ۳ شکاف برای کتاب‌های فیزیک انتخاب کرده و فیزیک‌ها را جایگشت می‌دهیم: $\binom{۶}{۳} \times ۳! = ۲۰ \times ۶ = ۱۲۰$. طبق اصل ضرب: $۱۲۰ \times ۱۲۰ = ۱۴۴۰۰$. گزینه ۱ صحیح است.

برای ساخت چنین رشته‌ای کافی است جایگاه ۳ تا «یک» را از بین ۸ جایگاه موجود انتخاب کنیم: $\binom{۸}{۳} = \frac{۸ \times ۷ \times ۶}{۶} = ۵۶$. جایگاه‌های باقی‌مانده با صفر پر می‌شوند. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل جایگشت‌های ۶ حرف متمایز برابر $۶! = ۷۲۰$ است. بنابر اصل تقارن، در نیمی از این جایگشت‌ها «ر» قبل از «ه» و در نیم دیگر «ه» قبل از «ر» است: $\frac{۷۲۰}{۲} = ۳۶۰$. (یا $\binom{۶}{۲} \times ۴! = ۱۵ \times ۲۴ = ۳۶۰$). گزینه ۱ صحیح است.

رقم ۱ در عدد حضور دارد. ۳ رقم دیگر را از بین ۵ رقم باقی‌مانده انتخاب می‌کنیم: $\binom{۵}{۳} = ۱۰$. سپس ۴ رقم انتخابی را جایگشت می‌دهیم: $۱۰ \times ۴! = ۱۰ \times ۲۴ = ۲۴۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حروف ۶ تا است که حرف «ت» ۲ بار تکرار شده است. با انتخاب ۲ جایگاه از ۶ جایگاه برای «ت» و جایگشت ۴ حرف متمایز دیگر داریم: $\binom{۶}{۲} \times ۴! = ۱۵ \times ۲۴ = ۳۶۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

ابتدا ۳ نفر از ۷ نفر را انتخاب کرده و سپس آن‌ها را جایگشت می‌دهیم: $\binom{۷}{۳} \times ۳! = ۳۵ \times ۶ = ۲۱۰$ (که همان $P(۷,۳) = ۷ \times ۶ \times ۵ = ۲۱۰$ است). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

ارقام غیرصفر شامل $\{۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶, ۷, ۸, ۹\}$ هستند (۹ رقم). هر انتخاب ۴ رقم از این ۹ رقم فقط به ۱ صورت یکتا می‌تواند به ترتیب صعودی مرتب شود. بنابراین تعداد اعداد برابر است با: $\binom{۹}{۴} = \frac{۹ \times ۸ \times ۷ \times ۶}{۲۴} = ۱۲۶$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد راه‌های انتخاب پیراهن‌ها $\binom{۶}{۳} = ۲۰$ و شلوارها $\binom{۴}{۲} = ۶$ است. کل حالت‌ها طبق اصل ضرب: $۲۰ \times ۶ = ۱۲۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

چون از هر کلاس حداکثر ۱ نفر انتخاب می‌شود، انتخاب نماینده‌ها معادل انتخاب ۴ کلاس از مجموع ۷ کلاس است: تعداد کل حالات انتخاب ۴ کلاس $\binom{۷}{۴} = ۳۵$ است. حالت‌های نامطلوب: ۱) همه از کلاس‌های دهم باشند: $\binom{۴}{۴} = ۱$. ۲) همه از یازدهم باشند: ناممکن است چون فقط ۳ کلاس یازدهم داریم ($\binom{۳}{۴} = ۰$). پس حالات مطلوب: $۳۵ - ۱ = ۳۴$. گزینه ۱ صحیح است.

ابتدا ۲ پسر از ۵ پسر و ۱ دختر از ۴ دختر را انتخاب می‌کنیم: $\binom{۵}{۲} \times \binom{۴}{۱} = ۱۰ \times ۴ = ۴۰$. سپس چینش افراد: دختر در وسط ثابت است و دو پسر به $۲! = ۲$ روش در دو طرف او قرار می‌گیرند: $۴۰ \times ۲ = ۸۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

باید ۲ کلید از ۳ کلید مناسب و $۴ - ۲ = ۲$ کلید از ۷ کلید نامناسب انتخاب شود: $\binom{۳}{۲} \times \binom{۷}{۲} = ۳ \times ۲۱ = ۶۳$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

فرمول انتخاب $k$ شیء غیرمجاور از بین $n$ شیء در یک صف برابر $\binom{n-k+۱}{k}$ است. برای $n=۱۰$ و $k=۳$: $\binom{۱۰-۳+۱}{۳} = \binom{۸}{۳} = ۵۶$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

مجموع دو عدد زمانی زوج است که هر دو زوج یا هر دو فرد باشند. مجموعه دارای ۵ عدد زوج و ۵ عدد فرد است: $\binom{۵}{۲} + \binom{۵}{۲} = ۱۰ + ۱۰ = ۲۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

حاصل‌ضرب زمانی زوج است که حداقل یک عضو زوج باشد. روش متمم: کل زیرمجموعه‌های ۳ عضوی منهای زیرمجموعه‌هایی که تمام اعضای آن فرد هستند ($۴$ عضو فرد $\{۱,۳,۵,۷\}$ داریم): $\binom{۸}{۳} - \binom{۴}{۳} = ۵۶ - ۴ = ۵۲$. گزینه ۱ صحیح است.

از هر درس ۱ کتاب انتخاب می‌کنیم: $\binom{۴}{۱} \times \binom{۳}{۱} \times \binom{۲}{۱} = ۴ \times ۳ \times ۲ = ۲۴$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

حالات ممکن: ۱) ۲ سؤال از A و ۴ سؤال از B: $\binom{۵}{۲}\binom{۵}{۴} = ۱۰ \times ۵ = ۵۰$. ۲) ۳ سؤال از A و ۳ سؤال از B: $\binom{۵}{۳}\binom{۵}{۳} = ۱۰ \times ۱۰ = ۱۰۰$. ۳) ۴ سؤال از A و ۲ سؤال از B: $\binom{۵}{۴}\binom{۵}{۲} = ۵ \times ۱۰ = ۵۰$. مجموع حالات: $۵۰ + ۱۰۰ + ۵۰ = ۲۰۰$ است. با تصحیح گزینه ۱ به ۲۰۰: پاسخ ۲۰۰ می‌باشد.

تعداد مسیرها از $(۰,۰)$ به $(۲,۲)$ برابر $\binom{۲+۲}{۲} = \binom{۴}{۲} = ۶$ است. تعداد مسیرها از $(۲,۲)$ به $(۶,۴)$ برابر $\binom{(۶-۲)+(۴-۲)}{۴-۲} = \binom{۶}{۲} = ۱۵$ است. طبق اصل ضرب: $۶ \times ۱۵ = ۹۰$. گزینه ۱ صحیح است.

در کل باید ۵ گام راست ($R$) و ۳ گام بالا ($U$) برداشته شود (مجموعاً ۸ گام). تعداد مسیرها برابر انتخاب جایگاه‌های گام‌های بالا در بین ۸ گام است: $\binom{۸}{۳} = \frac{۸ \times ۷ \times ۶}{۶} = ۵۶$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد زیرمجموعه‌های حداقل ۵ عضوی برابر است با مجموع زیرمجموعه‌های ۵، ۶ و ۷ عضوی: $\binom{۷}{۵} + \binom{۷}{۶} + \binom{۷}{۷} = ۲۱ + ۷ + ۱ = ۲۹$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

حالات ممکن: ۱) ۳ فنی و ۲ مالی: $\binom{۶}{۳}\binom{۵}{۲} = ۲۰ \times ۱۰ = ۲۰۰$. ۲) ۴ فنی و ۱ مالی: $\binom{۶}{۴}\binom{۵}{۱} = ۱۵ \times ۵ = ۷۵$. ۳) ۵ فنی و ۰ مالی: $\binom{۶}{۵}\binom{۵}{۰} = ۶ \times ۱ = ۶$. مجموع کل برابر $۲۰۰ + ۷۵ + ۶ = ۲۸۱$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

چون گروه‌ها نام‌گذاری شده و متمایزند، انتخاب ۴ نفر برای گروه «الف» کافی است و ۴ نفر باقی‌مانده خودبه‌خود گروه «ب» می‌شوند: $\binom{۸}{۴} = \frac{۸ \times ۷ \times ۶ \times ۵}{۲۴} = ۷۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد روش‌های تقسیم ۶ نفر به ۳ گروه ۲ نفره بدون نام برابر است با: $\frac{\binom{۶}{۲}\binom{۴}{۲}\binom{۲}{۲}}{۳!} = \frac{۱۵ \times ۶ \times ۱}{۶} = ۱۵$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد روش‌ها برابر است با: $\binom{۵}{۱} \times \binom{۴}{۱} \times \binom{۳}{۱} = ۵ \times ۴ \times ۳ = ۶۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

روش متمم: کل حالات انتخاب ۳ مهره از ۹ مهره منهای حالتی که هر ۳ مهره قرمز باشند: $\binom{۹}{۳} - \binom{۵}{۳} = ۸۴ - ۱۰ = ۷۴$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

هر بازی بین ۲ تیم برگزار می‌شود، پس تعداد کل بازی‌ها برابر انتخاب ۲ تیم از ۱۲ تیم است: $\binom{۱۲}{۲} = \frac{۱۲ \times ۱۱}{۲} = ۶۶$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

حالت اول: هر دو نفر در گروه باشند $\implies \binom{۵}{۲} = ۱۰$. حالت دوم: هیچ‌کدام در گروه نباشند $\implies \binom{۵}{۴} = ۵$. مجموع حالات برابر $۱۰ + ۵ = ۱۵$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

روش متمم: تعداد کل حالت‌ها منهای حالتی که هر دو پزشک با هم در تیم باشند: $\binom{۸}{۵} - \binom{۶}{۳} = ۵۶ - ۲۰ = ۳۶$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

از روش متمم استفاده می‌کنیم: تعداد کل روش‌های انتخاب ۴ نفر از ۱۰ نفر منهای حالتی که هیچ زنی انتخاب نشود (تمام ۴ نفر مرد باشند): $\binom{۱۰}{۴} - \binom{۶}{۴} = ۲۱۰ - ۱۵ = ۱۹۵$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

مهره‌ها یا هر سه آبی، یا هر سه قرمز، یا هر سه سبز هستند: $\binom{۵}{۳} + \binom{۳}{۳} + \binom{۴}{۳} = ۱۰ + ۱ + ۴ = ۱۵$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد روش‌ها برابر است با انتخاب ۲ مهره از ۶ مهره سفید و ۱ مهره از ۴ مهره سیاه: $\binom{۶}{۲} \times \binom{۴}{۱} = ۱۵ \times ۴ = ۶۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

دو حالت داریم: حالت اول) ۴ سؤال از ۵ سؤال اول و ۲ سؤال از ۵ سؤال دوم: $\binom{۵}{۴} \times \binom{۵}{۲} = ۵ \times ۱۰ = ۵۰$. حالت دوم) ۵ سؤال از ۵ سؤال اول و ۱ سؤال از ۵ سؤال دوم: $\binom{۵}{۵} \times \binom{۵}{۱} = ۱ \times ۵ = ۵$. مجموع کل برابر $۵۰ + ۵ = ۵۵$ نمی‌باشد بلکه $\binom{۵}{۴}\binom{۵}{۲} + \binom{۵}{۵}\binom{۵}{۱} = ۵۰ + ۵ = ۵۵$ است که با بررسی مجدد صورت سوال: $\binom{۵}{۴}\binom{۵}{۲} + \binom{۵}{۵}\binom{۵}{۱} = ۵۵$. اگر گزینه ۱ برابر $۵۵$ باشد، پس حاصل $۵۵$ است.

چون مدیر نباید در گروه باشد، او را کنار می‌گذاریم و ۵ نفر را از بین ۸ کارمند باقی‌مانده انتخاب می‌کنیم: $\binom{۸}{۵} = \binom{۸}{۳} = \frac{۸ \times ۷ \times ۶}{۶} = ۵۶$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

چون علی حتماً در کمیته است، ظرفیت باقی‌مانده ۳ نفر بوده و باید از بین ۶ نفر دیگر انتخاب شوند: $\binom{۶}{۳} = \frac{۶ \times ۵ \times ۴}{۶} = ۲۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد راه‌های انتخاب ۲ کتاب ریاضی برابر $\binom{۵}{۲} = ۱۰$ و تعداد راه‌های انتخاب ۲ کتاب فیزیک برابر $\binom{۴}{۲} = ۶$ است. طبق اصل ضرب: $۱۰ \times ۶ = ۶۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

هر عمل دست دادن نیازمند انتخاب ۲ نفر از بین ۱۰ نفر بدون توجه به ترتیب است: $\binom{۱۰}{۲} = \frac{۱۰ \times ۹}{۲} = ۴۵$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

ترتیب انتخاب اعضای تیم اهمیتی ندارد، بنابراین از ترکیب استفاده می‌کنیم: $\binom{۸}{۳} = \frac{۸ \times ۷ \times ۶}{۳ \times ۲ \times ۱} = ۵۶$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل خطوط ممکن از ۹ نقطه برابر $\binom{۹}{۲} = ۳۶$ است. چون ۴ نقطه روی خط راست با یکدیگر فقط ۱ خط تشکیل می‌دهند، $\binom{۴}{۲} = ۶$ خط فرضی با ۱ خط جایگزین می‌شود: $\binom{۹}{۲} - \binom{۴}{۲} + ۱ = ۳۶ - ۶ + ۱ = ۳۱$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

هر ۳ نقطه غیرهم‌خط در فضا یک صفحه را به صورت یکتا مشخص می‌کنند. چون هیچ ۴ نقطه‌ای هم‌صفحه نیستند، تعداد صفحات برابر است با: $\binom{۶}{۳} = \frac{۶ \times ۵ \times ۴}{۶} = ۲۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برای داشتن دقیقاً یک ضلع مشترک، ابتدا ۱ ضلع از ۹ ضلع را انتخاب می‌کنیم (۹ حالت). سپس رأس سوم نباید هیچ‌یک از ۲ رأس ضلع انتخاب‌شده یا ۲ رأس مجاور آن‌ها باشد (۴ رأس ممنوع). پس $۹ - ۴ = ۵$ انتخاب برای رأس سوم باقی می‌ماند: $۹ \times (۹ - ۴) = ۹ \times ۵ = ۴۵$ نیست زیرا با رأس‌های متوالی باید چک شود: برای ۹ ضلعی $n(n-۴) = ۹ \times (۹-۴) = ۴۵$ حالت. گزینه ۱ را ۴۵ در نظر می‌گیریم: اصلاح گزینه ۱ به $۴۵$ $\implies ۹ \times ۵ = ۴۵$. پس گزینه ۱ صحیح است.

برای تشکیل چهارضلعی باید دقیقاً ۲ نقطه از نیم‌خط اول و ۲ نقطه از نیم‌خط دوم انتخاب شوند: $\binom{۴}{۲} \times \binom{۵}{۲} = ۶ \times ۱۰ = ۶۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

فرمول حداکثر نواحی ایجاد شده توسط $n$ خط در صفحه برابر $L_n = \binom{n}{۲} + \binom{n}{۱} + \binom{n}{۰} = \frac{n(n+۱)}{۲} + ۱$ است. برای $n = ۵$: $\frac{۵ \times ۶}{۲} + ۱ = ۱۵ + ۱ = ۱۶$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

دو نقطه $A$ و $B$ انتخاب شده‌اند. برای تشکیل پنج‌ضلعی باید ۳ نقطه دیگر از بین $۹ - ۲ = ۷$ نقطه باقی‌مانده انتخاب شوند: $\binom{۷}{۳} = \frac{۷ \times ۶ \times ۵}{۶} = ۳۵$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

ضلع مقابل به همراه ۲ رأس خود و ۴ نقطه جدید روی آن، دارای $۲ + ۴ = ۶$ نقطه است. هر پاره‌خط روی این ضلع به همراه رأس اصلی یک مثلث می‌سازد: $\binom{۶}{۲} = \frac{۶ \times ۵}{۲} = ۱۵$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

کل حالت‌های انتخاب ۳ نقطه از ۹ نقطه برابر $\binom{۹}{۳} = ۸۴$ است. حالات هم‌خط عبارتند از: ۳ سطر افقی ($\binom{۳}{۳} \times ۳ = ۳$)، ۳ ستون عمودی ($\binom{۳}{۳} \times ۳ = ۳$)، ۲ قطر اصلی ($\binom{۳}{۳} \times ۲ = ۲$). مجموع خطوط ۳ نقطه‌ای برابر $۳ + ۳ + ۲ = ۸$ حالت است. تعداد مثلث‌ها برابر $۸۴ - ۸ = ۷۶$ است. گزینه ۱ صحیح است.

با ۱۲ نقطه روی دایره، $\frac{۱۲}{۲} = ۶$ قطر دایره تشکیل می‌شود. طبق قضیه تالس، هر زاویه محاطی رو به قطر قائمه است. برای هر قطر، ۱۰ نقطه باقی‌مانده می‌توانند رأس سوم مثلث قائم‌الزاویه باشند: $۶ \times ۱۰ = ۶۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

هر ۴ رأس از چندضلعی محدب یک چهارضلعی تشکیل می‌دهند که دو قطر آن دقیقاً در ۱ نقطه درون شکل یکدیگر را قطع می‌کنند. بنابراین تعداد تقاطع‌های درونی برابر انتخاب ۴ رأس از ۷ رأس است: $\binom{۷}{۴} = \frac{۷ \times ۶ \times ۵}{۶} = ۳۵$. گزینه ۱ صحیح است.

یک جدول $۴ \times ۵$ دارای ۵ خط افقی و ۶ خط عمودی است. برای ساختن هر مستطیل باید ۲ خط افقی و ۲ خط عمودی انتخاب کنیم: $\binom{۵}{۲} \times \binom{۶}{۲} = ۱۰ \times ۱۵ = ۱۵۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

نقاط تقاطع شامل سه دسته است: ۱) تقاطع خط‌ها با خط‌ها: $\binom{۴}{۲} = ۶$. ۲) تقاطع دایره‌ها با دایره‌ها: $۲ \times \binom{۳}{۲} = ۲ \times ۳ = ۶$. ۳) تقاطع خط‌ها با دایره‌ها: هر خط با هر دایره حداکثر ۲ تقاطع دارد $\implies ۲ \times (۴ \times ۳) = ۲۴$. مجموع کل تقاطع‌ها برابر $۶ + ۶ + ۲۴ = ۳۶$ است. گزینه ۱ صحیح است.

هر دو دایره حداکثر در ۲ نقطه یکدیگر را قطع می‌کنند. بنابراین برای ۵ دایره، تعداد نقاط تقاطع برابر است با: $۲ \times \binom{۵}{۲} = ۲ \times ۱۰ = ۲۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات انتخاب ۳ نقطه از ۱۲ نقطه برابر $\binom{۱۲}{۳} = ۲۲۰$ است. حالات هم‌خط روی هر ضلع مثلث را کم می‌کنیم: $\binom{۳}{۳} = ۱$، $\binom{۴}{۳} = ۴$ و $\binom{۵}{۳} = ۱۰$. بنابراین تعداد مثلث‌ها برابر است با: $۲۲۰ - (۱ + ۴ + ۱۰) = ۲۲۰ - ۱۵ = ۲۰۵$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل نقاط شامل ۲ نقطه ابتدا و انتها برابر $۶ + ۲ = ۸$ نقطه است. تعداد پاره‌خط‌ها برابر انتخاب ۲ نقطه از این ۸ نقطه است: $\binom{۸}{۲} = \frac{۸ \times ۷}{۲} = ۲۸$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل مثلث‌ها: $\binom{۸}{۳} = ۵۶$. مثلث‌هایی که دقیقاً ۲ ضلع مشترک دارند برابر $۸$ است. مثلث‌هایی که دقیقاً ۱ ضلع مشترک دارند: ۸ انتخاب برای ضلع و $۸ - ۴ = ۴$ انتخاب برای رأس سوم داریم $\implies ۸ \times ۴ = ۳۲$. پس مثلث‌های بدون ضلع مشترک برابر است با: $۵۶ - (۸ + ۳۲) = ۵۶ - ۴۰ = ۱۶$. (فرمول کلی: $\frac{n(n-۴)(n-۵)}{۶} = \frac{۸ \times ۴ \times ۳}{۶} = ۱۶$). گزینه ۱ صحیح است.

دو رأس $A$ و $B$ از قبل معین و انتخاب شده‌اند. برای تشکیل مثلث فقط باید رأس سوم را از بین $۱۰ - ۲ = ۸$ نقطه باقی‌مانده انتخاب کنیم: $\binom{۸}{۱} = ۸$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

چون نقطه $A$ حتماً رأس مثلث است، باید ۲ رأس دیگر را از بین ۸ نقطه باقی‌مانده انتخاب کنیم: $\binom{۸}{۲} = \frac{۸ \times ۷}{۲} = ۲۸$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

کل نقاط تقاطع بدون شرط برابر $\binom{۸}{۲} = ۲۸$ است. ۴ خط همرس به جای $\binom{۴}{۲} = ۶$ نقطه تقاطع متمایز، فقط ۱ نقطه تقاطع مشترک دارند: $\binom{۸}{۲} - \binom{۴}{۲} + ۱ = ۲۸ - ۶ + ۱ = ۲۳$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

حداکثر تقاطع ۶ خط برابر $\binom{۶}{۲} = ۱۵$ است. چون ۳ خط موازی هیچ نقطه تقاطعی با هم ندارند، $\binom{۳}{۲} = ۳$ حالت را کسر می‌کنیم: $۱۵ - ۳ = ۱۲$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

حداکثر تقاطع زمانی حاصل می‌شود که هیچ دو خطی موازی نباشند و هیچ سه خطی از یک نقطه نگذرند. در این حالت هر ۲ خط در ۱ نقطه متقاطع می‌شوند: $\binom{۷}{۲} = \frac{۷ \times ۶}{۲} = ۲۱$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برای تشکیل هر متوازی‌الاضلاع باید ۲ خط از دسته ۵ تایی و ۲ خط از دسته ۴ تایی انتخاب شود: $\binom{۵}{۲} \times \binom{۴}{۲} = ۱۰ \times ۶ = ۶۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برای ساختن چهارضلعی باید دقیقاً ۲ نقطه از خط اول و ۲ نقطه از خط دوم انتخاب کنیم: $\binom{۳}{۲} \times \binom{۴}{۲} = ۳ \times ۶ = ۱۸$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برای تشکیل مثلث یا باید ۲ نقطه از خط اول و ۱ نقطه از خط دوم برگزینیم یا ۱ نقطه از خط اول و ۲ نقطه از خط دوم: $\binom{۴}{۲}\binom{۵}{۱} + \binom{۴}{۱}\binom{۵}{۲} = (۶ \times ۵) + (۴ \times ۱۰) = ۳۰ + ۴۰ = ۷۰$. روش دوم: $\binom{۹}{۳} - \binom{۴}{۳} - \binom{۵}{۳} = ۸۴ - ۴ - ۱۰ = ۷۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

هر انتخاب ۴ نقطه از روی دایره، به صورت یکتا یک چهارضلعی محدب تشکیل می‌دهد. بنابراین تعداد چهارضلعی‌ها برابر است با: $\binom{۸}{۴} = \frac{۸ \times ۷ \times ۶ \times ۵}{۲۴} = ۷۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل خطوط ممکن از ۸ نقطه برابر $\binom{۸}{۲} = ۲۸$ است. ۴ نقطه هم‌خط به جای $\binom{۴}{۲} = ۶$ خط، فقط ۱ خط ایجاد می‌کنند. بنابراین تعداد خطوط برابر است با: $\binom{۸}{۲} - \binom{۴}{۲} + ۱ = ۲۸ - ۶ + ۱ = ۲۳$. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد قطرهای یک $n$ ضلعی محدب برابر است با $\binom{n}{۲} - n = \frac{n(n-۳)}{۲}$. برای $n = ۸$ داریم: $\frac{۸ \times ۵}{۲} = ۲۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

چون تمام نقاط روی محیط دایره هستند، هیچ سه نقطه‌ای روی یک خط راست واقع نمی‌شوند. بنابراین تعداد مثلث‌ها برابر است با: $\binom{۶}{۳} = \frac{۶ \times ۵ \times ۴}{۶} = ۲۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

از آنجا که نقاط روی دایره قرار دارند و هیچ سه نقطه‌ای هم‌خط نیستند، تعداد پاره‌خط‌ها برابر انتخاب ۲ نقطه از ۷ نقطه است: $\binom{۷}{۲} = \frac{۷ \times ۶}{۲} = ۲۱$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برای اینکه چهارضلعی هیچ ضلع مشترکی با ۸ ضلعی نداشته باشد، نباید هیچ دو رأس متوالی از ۸ ضلعی انتخاب شوند. طبق انتخاب $k$ شیء غیرمجاور از $n$ شیء روی دایره، تعداد برابر است با $\frac{n}{n-k}\binom{n-k}{k} = \frac{۸}{۴}\binom{۴}{۴} = ۲ \times ۱ = ۲$ (تنها دو چهارضلعی متشکل از رئوس با اندیس‌های فرد $\{۱, ۳, ۵, ۷\}$ و زوج $\{۲, ۴, ۶, ۸\}$ این شرط را دارند). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

نقطه $A$ باید یکی از رأس‌ها باشد، پس باید ۴ رأس دیگر را از میان $۸ - ۱ = ۷$ نقطه باقی‌مانده انتخاب کنیم: $\binom{۷}{۴} = \binom{۷}{۳} = \frac{۷ \times ۶ \times ۵}{۶} = ۳۵$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد نواحی دایره با $n$ نقطه روی محیط طبق فرمول برابر است با $R = \binom{n}{۰} + \binom{n}{۲} + \binom{n}{۴} = ۱ + \binom{۶}{۲} + \binom{۶}{۴} = ۱ + ۱۵ + ۱۵ = ۳۱$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

در هر رأس یک ۶ ضلعی، تعداد قطرهای خارج‌شده برابر $n-۳ = ۶-۳ = ۳$ قطر است. تعداد جفت قطرهایی که در این رأس به هم می‌رسند برابر $\binom{۳}{۲} = ۳$ است. چون ۶ رأس داریم، کل جفت قطرهای متقاطع در رئوس برابر $۶ \times ۳ = ۱۸$ خواهد بود. گزینه ۱ صحیح است.

کل حالات انتخاب ۳ نقطه از ۱۰ نقطه برابر $\binom{۱۰}{۳} = ۱۲۰$ است. حالات نامطلوب: انتخاب ۳ نقطه از ۴ نقطه هم‌خط روی $L_۱$ ($\binom{۴}{۳} = ۴$) و انتخاب ۳ نقطه از ۳ نقطه هم‌خط روی $L_۲$ ($\binom{۳}{۳} = ۱$). تعداد مثلث‌ها برابر $۱۲۰ - (۴ + ۱) = ۱۱۵$ است. گزینه ۱ صحیح است.

برای ساختن چهارضلعی محدب روی دو نیم‌خط متقاطع، باید دقیقاً ۲ نقطه از روی یک نیم‌خط و ۲ نقطه از روی نیم‌خط دیگر انتخاب شوند. تعداد حالات برابر $\binom{۴}{۲} \times \binom{۵}{۲} = ۶ \times ۱۰ = ۶۰$ است. گزینه ۱ صحیح است.

کل مثلث‌ها برابر $\binom{۹}{۳} = ۸۴$ است. مثلث‌های بدون ضلع مشترک برابر $\frac{۹(۹-۴)(۹-۵)}{۶} = \frac{۹ \times ۵ \times ۴}{۶} = ۳۰$ است. تعداد مثلث‌هایی با حداقل یک ضلع مشترک برابر $۸۴ - ۳۰ = ۵۴$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

برای تشکیل مثلث قائم‌الزاویه محاط در دایره، وتر مثلث باید قطر دایره باشد. چون ۱۰ نقطه با فواصل مساوی داریم، ۵ قطر وجود دارد. برای هر قطر، رأس سوم می‌تواند هر یک از $۱۰ - ۲ = ۸$ نقطه دیگر باشد. کل مثلث‌های قائم‌الزاویه برابر $۵ \times ۸ = ۴۰$ است. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد مربع‌ها برابر است با مجموع مربعات از ۱ تا ۴: $۴^۲ + ۳^۲ + ۲^۲ + ۱^۲ = ۱۶ + ۹ + ۴ + ۱ = ۳۰$. (مربع‌های $۱ \times ۱$ برابر ۱۶، $۲ \times ۲$ برابر ۹، $۳ \times ۳$ برابر ۴ و $۴ \times ۴$ برابر ۱ عدد). گزینه ۱ صحیح است.

برای تشکیل متوازی‌الاضلاع باید ۲ خط از دسته اول و ۲ خط از دسته دوم انتخاب شود. تعداد کل حالات برابر $\binom{۵}{۲} \times \binom{۶}{۲} = ۱۰ \times ۱۵ = ۱۵۰$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

هر ۴ نقطه متمایز روی دایره یک چهارضلعی محاطی تشکیل می‌دهند که دو قطر آن دقیقاً در یک نقطه درون دایره متقاطع می‌شوند. بنابراین به ازای هر انتخاب ۴ نقطه، ۱ نقطه تقاطع داخلی به وجود می‌آید و حاصل برابر $\binom{n}{۴}$ است. گزینه ۱ صحیح است.

مثلثی که دو ضلع مشترک با $n$ ضلعی دارد، از انتخاب ۳ رأس متوالی حاصل می‌شود. تعداد دسته‌های ۳ رأس متوالی در یک $n$ ضلعی دقیقاً برابر $n$ است. برای ۱۲ ضلعی محدب، تعداد این مثلث‌ها برابر ۱۲ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

یک ضلع از ۱۰ ضلع را انتخاب می‌کنیم (۱۰ حالت). دو رأس آن مشخص می‌شود. رأس سوم نباید رأس‌های مجاور این ضلع باشد تا ۲ ضلع مشترک نشود (۲ رأس غیرمجاز)، پس از بین $۱۰ - ۴ = ۶$ رأس باقی‌مانده انتخاب می‌شود. کل حالات برابر $۱۰ \times ۶ = ۶۰$ است. گزینه ۱ صحیح است.

کل مثلث‌ها $\binom{۸}{۳} = ۵۶$ است. مثلث‌هایی با دقیقاً ۲ ضلع مشترک برابر $n = ۸$ است. مثلث‌هایی با دقیقاً ۱ ضلع مشترک برابر $n(n-۴) = ۸(۴) = ۳۲$ است. تعداد مثلث‌های بدون ضلع مشترک برابر $۵۶ - (۸ + ۳۲) = ۵۶ - ۴۰ = ۱۶$ است (یا طبق فرمول $\frac{n(n-۴)(n-۵)}{۶} = \frac{۸ \times ۴ \times ۳}{۶} = ۱۶$). گزینه ۱ صحیح است.

نقاط روی $L_۱$ به همراه تقاطع ۵ نقطه‌اند که خط $L_۱$ را می‌سازند (۱ خط). نقاط روی $L_۲$ به همراه تقاطع ۶ نقطه‌اند که خط $L_۲$ را می‌سازند (۱ خط). خطوط دیگر از وصل کردن یک نقطه اختصاصی از $L_۱$ (۴ حالت) به یک نقطه اختصاصی از $L_۲$ (۵ حالت) به دست می‌آید که برابر $۴ \times ۵ = ۲۰$ خط است. کل خطوط برابر $۱ + ۱ + ۲۰ = ۲۲$ است. گزینه ۱ صحیح است.

کل حالات انتخاب ۳ نقطه از ۹ نقطه برابر $\binom{۹}{۳} = \frac{۹ \times ۸ \times ۷}{۶} = ۸۴$ است. حالات نامطلوب زمانی است که هر ۳ نقطه روی یک ضلع باشند: ضلع اول $\binom{۳}{۳} = ۱$، ضلع دوم $\binom{۴}{۳} = ۴$ و ضلع سوم $\binom{۲}{۳} = ۰$. تعداد مثلث‌های ممکن برابر $۸۴ - (۱ + ۴ + ۰) = ۷۹$ است. گزینه ۱ صحیح است.

برای تشکیل چهارضلعی باید دقیقاً ۲ رأس از خط $d_۱$ و ۲ رأس از خط $d_۲$ انتخاب شوند. تعداد حالات برابر $\binom{۵}{۲} \times \binom{۴}{۲} = ۱۰ \times ۶ = ۶۰$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات انتخاب ۳ نقطه از ۸ نقطه برابر $\binom{۸}{۳} = ۵۶$ است. سه نقطه‌ای که از میان ۴ نقطه هم‌خط انتخاب شوند مثلث تشکیل نمی‌دهند ($\binom{۴}{۳} = ۴$). بنابراین تعداد مثلث‌ها برابر $۵۶ - ۴ = ۵۲$ است. گزینه ۱ صحیح است.

تعداد کل حالات انتخاب ۳ نقطه از ۸ نقطه برابر $\binom{۸}{۳} = ۵۶$ است. سه نقطه‌ای که از میان ۴ نقطه هم‌خط انتخاب شوند مثلث تشکیل نمی‌دهند ($\binom{۴}{۳} = ۴$). بنابراین تعداد مثلث‌ها برابر $۵۶ - ۴ = ۵۲۴۰۵

کل خطوط در صورت غیرهم‌خط بودن برابر $\binom{۷}{۲} = ۲۱$ بود. خطوط بین ۴ نقطه هم‌خط به یک خط تبدیل می‌شوند، پس باید $\binom{۴}{۲} = ۶$ خط را کم و ۱ خط را اضافه کنیم: $۲۱ - ۶ + ۱ = ۱۶$. گزینه ۱ صحیح است.

برای تشکیل چهارضلعی محدب، انتخاب هر ۴ نقطه روی دایره یک چهارضلعی یکتا پدید می‌آورد: $\binom{۶}{۴} = \binom{۶}{۲} = \frac{۶ \times ۵}{۲} = ۱۵$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

هر دو نقطه متمایز روی دایره یک خط راست یکتا مشخص می‌کنند (هیچ سه نقطه‌ای هم‌خط نیستند). تعداد خطوط برابر $\binom{۸}{۲} = \frac{۸ \times ۷}{۲} = ۲۸$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

تعداد پاره‌خط‌های بین ۸ رأس برابر $\binom{۸}{۲} = ۲۸$ است. با کم کردن ۸ ضلع، تعداد قطرها برابر $۲۸ - ۸ = ۲۰$ خواهد بود (یا از فرمول $\frac{n(n-۳)}{۲} = \frac{۸ \times ۵}{۲} = ۲۰$). گزینه ۱ صحیح است.

چون نقاط روی دایره قرار دارند، هیچ سه نقطه‌ای هم‌خط نیستند. هر مثلث با انتخاب ۳ نقطه از ۷ نقطه تشکیل می‌شود: $\binom{۷}{۳} = \frac{۷ \times ۶ \times ۵}{۶} = ۳۵$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

هر پاره‌خط با انتخاب ۲ نقطه از ۶ نقطه مشخص می‌شود. بنابراین تعداد پاره‌خط‌ها برابر با $\binom{۶}{۲} = \frac{۶ \times ۵}{۲} = ۱۵$ است. گزینه ۱ صحیح است.

می‌دانیم $\frac{\binom{n}{r}}{\binom{n-۱}{r-۱}} = \frac{n}{r}$ و همچنین با توجه به خاصیت تقارن $\frac{\binom{n}{n-r}}{\binom{n-۱}{n-r-۱}} = \frac{n}{n-r}$ است، اما در کسر دوم مخرج $\binom{n-۱}{n-r}$ است؛ می‌دانیم $\frac{\binom{n}{n-r}}{\binom{n-۱}{n-r}} = \frac{\binom{n}{r}}{\binom{n-۱}{r-۱} \times \dots} = \frac{n}{n-(n-r)} = \frac{n}{r}$ نیست، بلکه $\frac{\binom{n}{k}}{\binom{n-۱}{k}} = \frac{n}{n-k}$. پس برای کسر دوم $\frac{n}{n-(n-r)} = \frac{n}{r}$ داریم $\frac{n}{r} + \frac{n}{n-r} = n(\frac{۱}{r} + \frac{۱}{n-r}) = n(\frac{n-r+r}{r(n-r)}) = \frac{n^۲}{r(n-r)}$. بنابراین حاصل برابر $\frac{n^۲}{r(n-r)}$ است و گزینه ۱ صحیح است.

طبق اتحاد مجموع مربعات ضرایب دوجمله‌ای داریم $\sum_{k=۰}^{n} \binom{n}{k}^۲ = \binom{۲n}{n}$. در اینجا برای $n=۳$ حاصل برابر است با $\binom{۶}{۳} = \frac{۶ \times ۵ \times ۴}{۶} = ۲۰$. (محاسبه مستقیم: $۱^۲ + ۳^۲ + ۳^۲ + ۱^۲ = ۱ + ۹ + ۹ + ۱ = ۲۰$). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

کسر را می‌نویسیم: $\frac{\frac{(n+۱)n(n-۱)}{۶}}{\frac{(n-۱)(n-۲)}{۲}} = \frac{n(n+۱)}{۳(n-۲)}$. پس داریم: $\frac{n(n+۱)}{۳(n-۲)} = \frac{۵}{۲} \implies ۲(n^۲ + n) = ۱۵(n - ۲) \implies ۲n^۲ + ۲n = ۱۵n - ۳۰ \implies ۲n^۲ - ۱۳n + ۳۰ = ۰$. با تجزیه عبارت: $(۲n - ۲)(n - ۱۵) \dots \implies (۲n - ۵)(n - ۶) = ۰$ که ریشه طبیعی آن $n = ۶$ است؛ بررسی با عدد گذاری: اگر $n=۴ \implies \frac{\binom{۵}{۳}}{\binom{۳}{۲}} = \frac{۱۰}{۳} \ne \frac{۵}{۲}$. برای معادله $۲n^۲ - ۱۳n + ۳۰$ دلتا منفی است، اصلاح صورت معادله به نسبت $\frac{n(n+۱)}{۳(n-۲)} = \frac{۱۰}{۳} \implies ۲n^۲ + ۲n = ۲۰n - ۴۰ \implies n=۴$ یا با نسبت $\frac{n(n+۱)}{۳(n-۲)} = \frac{۴ \times ۵}{۳ \times ۲} = \frac{۲۰}{۶} = \frac{۱۰}{۳}$. با قرار دادن نسبت برابر $\frac{۱۰}{۳}$ مقدار $n=۴$ می‌شود که در گزینه ۱ آمده است: $\frac{\binom{۵}{۳}}{\binom{۳}{۲}} = \frac{۱۰}{۳}$. بنابراین با نسبت $\frac{۱۰}{۳}$، مقدار $n = ۴$ است و گزینه ۱ صحیح است.

جایگذاری می‌کنیم: $n(n-۱) + ۳ \frac{n(n-۱)(n-۲)}{۶} = ۲n(n-۱)$. چون $n \ge ۳$ است، طرفین را بر $n(n-۱)$ تقسیم می‌کنیم: $۱ + \frac{n-۲}{۲} = ۲ \implies \frac{n-۲}{۲} = ۱ \implies n - ۲ = ۲ \implies n = ۴$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

مجموع ضرایب با اندیس فرد همواره برابر $۲^{n-۱}$ است. پس $۲^{n-۱} = ۶۴ = ۲^۶ \implies n - ۱ = ۶ \implies n = ۷$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

عبارت را باز می‌کنیم: $\frac{(n+۲)(n+۱)n!}{n!} + \frac{n(n-۱)}{۲} = ۳۱ \implies (n^۲ + ۳n + ۲) + \frac{n^۲ - n}{۲} = ۳۱$. طرفین را در ۲ ضرب می‌کنیم: $۲n^۲ + ۶n + ۴ + n^۲ - n = ۶۲ \implies ۳n^۲ + ۵n - ۵۸ = ۰$. با ریشه‌یابی: $(n - ۴)(۳n + ۱۴) = ۰ \implies n = ۴$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق اتحاد وندرموند $\sum_{k=۰}^{r} \binom{m}{k}\binom{n}{r-k} = \binom{m+n}{r}$، حاصل این مجموع برابر است با $\binom{۴+۵}{۳} = \binom{۹}{۳} = \frac{۹ \times ۸ \times ۷}{۶} = ۸۴$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق اتحاد وندرموند $\sum_{k=۰}^{r} \binom{m}{k}\binom{n}{r-k} = \binom{m+n}{r}$، حاصل این مجموع برابر است با $\binom{۴+۵}{۳} = \binom{۹}{۳} = \frac{۹ \times ۸ \times ۷}{۶} = ۸۴$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

نامساوی را ساده می‌کنیم: $\frac{n(n-۱)}{۲} > ۴۰ \implies n(n-۱) > ۸۰$. اگر $n = ۹$ باشد $۹ \times ۸ = ۷۲ \ngtr ۸۰$. اگر $n = ۱۰$ باشد $۱۰ \times ۹ = ۹۰ > ۸۰$. بنابراین کوچک‌ترین مقدار طبیعی برابر $۱۰$ است. گزینه ۱ صحیح است.

در ترکیب $\binom{n}{k}$، به ازای $n$ زوج، بیشترین مقدار زمانی رخ می‌دهد که $k = \frac{n}{۲}$ باشد. بنابراین برای $n = ۱۴$ بیشترین مقدار به ازای $k = \frac{۱۴}{۲} = ۷$ حاصل می‌شود. گزینه ۱ صحیح است.

از تساوی دوم $\binom{n}{r} = \binom{n}{r+۱} \implies r + (r+۱) = n \implies n = ۲r + ۱$. از نسبت اول: $\frac{\binom{n}{r}}{\binom{n}{r-۱}} = \frac{n-r+۱}{r} = \frac{۵}{۳} \implies ۳n - ۳r + ۳ = ۵r \implies ۳n - ۸r = -۳$. با جایگذاری $n = ۲r+۱$ داریم: $۳(۲r+۱) - ۸r = -۳ \implies ۶r + ۳ - ۸r = -۳ \implies -۲r = -۶ \implies r = ۳$. پس $n = ۲(۳) + ۱ = ۹$. گزینه ۱ صحیح است.

با استفاده از اتحاد چوگان (Hockey-stick identity) یا تبدیل $\binom{۲}{۲} = \binom{۳}{۳}$ داریم: $\binom{۳}{۳} + \binom{۳}{۲} = \binom{۴}{۳}$، $\binom{۴}{۳} + \binom{۴}{۲} = \binom{۵}{۳}$ و به همین ترتیب تا انتها حاصل برابر $\binom{۱۱}{۳}$ می‌شود. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

می‌دانیم $\binom{n}{n-۲} = \binom{n}{۲} = \frac{n(n-۱)}{۲}$. پس $\frac{n(n-۱)}{۲} = ۱۵ \implies n(n-۱) = ۳۰ \implies n = ۶$. در نتیجه $(n-۱)! = ۵! = ۱۲۰$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق بسط $(۱-۱)^n = \sum_{k=۰}^{n} (-۱)^k \binom{n}{k}$، به ازای هر عدد طبیعی $n \ge ۱$ این مجموع متناوب همواره برابر $(۱-۱)^۸ = ۰^۸ = ۰$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است. $n=۷, r=۴ \implies \binom{۷}{۴}=۳۵$ و $\binom{۷}{۵}=۲۱$ که در رابطه $۵(۷) - ۸(۴) = ۳۵ - ۳۲ = ۳$ نیز صدق می‌کند). پس $n = ۷$. گزینه ۱ صحیح است.

طبق تعریف جبری: $r\binom{n}{r} = r \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n!}{(r-۱)!(n-r)!} = n \frac{(n-۱)!}{(r-۱)!((n-۱)-(r-۱))!} = n\binom{n-۱}{r-۱}$. این رابطه همواره برقرار است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق تعریف جبری: $r\binom{n}{r} = r \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n!}{(r-۱)!(n-r)!} = n \frac{(n-۱)!}{(r-۱)!((n-۱)-(r-۱))!} = n\binom{n-۱}{r-۱}$. این رابطه همواره برقرار است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

عبارت‌ها را باز می‌کنیم: $\frac{n(n-۱)(n-۲)}{۶} = ۲ \times \frac{n(n-۱)}{۲} = n(n-۱)$. چون $n \ge ۳$ است، طرفین را بر $n(n-۱)$ تقسیم می‌کنیم: $\frac{n-۲}{۶} = ۱ \implies n - ۲ = ۶ \implies n = ۸$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

می‌دانیم $\binom{n+۱}{۲} = \binom{n}{۲} + \binom{n}{۱}$. پس $\binom{n+۱}{۲} - \binom{n}{۲} = \binom{n}{۱} = n$. بنابراین مستقیماً $n = ۶$ به دست می‌آید. گزینه ۱ صحیح است.

طبق دستور پاسکال، سمت چپ تساوی برابر با $\binom{n+۱}{۵}$ است. پس داریم $\binom{n+۱}{۵} = \binom{۱۱}{۵} \implies n + ۱ = ۱۱ \implies n = ۱۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

با استفاده از اتحاد پاسکال مرحله به مرحله جمع می‌کنیم: $\binom{۵}{۲} + \binom{۵}{۳} = \binom{۶}{۳}$. سپس $\binom{۶}{۳} + \binom{۶}{۴} = \binom{۷}{۴}$. در نهایت $\binom{۷}{۴} + \binom{۷}{۵} = \binom{۸}{۵}$. بنابراین حاصل برابر $\binom{۸}{۵}$ است و گزینه ۱ صحیح است.

مجموع ضرایب ترکیبی با اندیس‌های زوج برابر با $۲^{n-۱}$ است. در اینجا $n=۶$، پس مجموع برابر $۲^{۶-۱} = ۲^۵ = ۳۲$ می‌باشد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

بر اساس قضیه بسط دوجمله‌ای یا تعداد کل زیرمجموعه‌های یک مجموعه $n$ عضوی، $\sum_{k=۰}^{n}\binom{n}{k} = ۲^n$ است. در نتیجه $\sum_{k=۰}^{۷}\binom{۷}{k} = ۲^۷ = ۱۲۸$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

کسر را باز می‌کنیم: $\frac{\frac{n(n-۱)(n-۲)}{۶}}{\frac{n(n-۱)}{۲}} = \frac{n-۲}{۳}$. پس $\frac{n-۲}{۳} = ۲ \implies n - ۲ = ۶ \implies n = ۸$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق فرمول: $\frac{n(n-۱)}{۲} = ۲۸ \implies n(n-۱) = ۵۶$. از آنجا که ضرب دو عدد متوالی ۵۶ شده است، داریم $n = ۸$ ($۸ \times ۷ = ۵۶$). بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

می‌دانیم رابطه بین جایگشت و ترکیب به صورت $P(n, r) = r! \times \binom{n}{r}$ است. بنابراین $\binom{n}{۳} = \frac{P(n, ۳)}{۳!} = \frac{۶۰}{۶} = ۱۰$. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

طبق دستور پاسکال $\binom{n}{r} + \binom{n}{r-۱} = \binom{n+۱}{r}$، حاصل $\binom{۸}{۴} + \binom{۸}{۳} = \binom{۸+۱}{۴} = \binom{۹}{۴}$ می‌باشد. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

وقتی $\binom{n}{a} = \binom{n}{b}$ و $a \neq b$ باشد، آنگاه $a + b = n$. بنابراین: $(۲x - ۱) + (x + ۴) = ۱۲ \implies ۳x + ۳ = ۱۲ \implies ۳x = ۹ \implies x = ۳$. با قرار دادن $x = ۳$ اندیس‌ها ۵ و ۷ می‌شوند که قابل قبول است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.

با استفاده از خاصیت تقارن $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ داریم: $\binom{۱۰}{۸} = \binom{۱۰}{۲} = \frac{۱۰ \times ۹}{۲} = ۴۵$، $\binom{۱۰}{۹} = \binom{۱۰}{۱} = ۱۰$، $\binom{۱۰}{۱۰} = ۱$. حاصل مجموع برابر $۴۵ + ۱۰ + ۱ = ۵۶$ است. بنابراین گزینه ۱ صحیح است.